Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.
(t+y+1) d t-d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(t+y+1),dt - dy = 0
que podemos reorganizar dividindo por dt para obter
dydt = t + y + 1
O conteúdo aqui é a resolução de uma EDO linear da forma
dydt - y = t + 1

Passo 2

Colocamos a EDO em forma padrão
dydt - 1cdot y = t + 1,
onde o coeficiente de y é constante igual a -1. Para resolver usamos o fator integrante.

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = expl(-!integral 1,dtr) = e^-t
Multiplicando a EDO por mu(t) temos
e^-tdydt - e^-ty = (t+1)e^-t,
e o lado esquerdo é a derivada do produto:
ddtl(e^-tyr) = (t+1)e^-t

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^-ty = integral (t+1)e^-t,dt + C
Para calcular integral (t+1)e^-t,dt usamos integração por partes em integral t e^-tdt:
integral t e^-tdt = - (t+1)e^-t, integral e^-tdt = -e^-t,
logo
integral (t+1)e^-tdt = -(t+1)e^-t - e^-t = -(t+2)e^-t
Assim
e^-ty = -(t+2)e^-t + C

Passo 5

Multiplicamos por e^t para isolar y:
y = -t - 2 + Ce^t

Resposta

A solução geral é
boxedy(t) = Ce^t - t - 2, CinR

Exercícios relacionados