Questão 3: (30 pts) Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}11 & -3 & -3 \\\\ 9 & -1 & -3 \\\\ 9 & -3 & -1\end{array}\right], cujo polinômio característico é p(\lambda)=-\lambda^{3}+ 9 \lambda^{2}-24 \lambda+20. Quais são os autovalores e os autovetores de A ? A é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os autovalores e os autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 11 & -3 & -3\\\\ 9 & -1 & -3\\\\ 9 & -3 & -1 \end{pmatrix}
e decidir se A é diagonalizável. O conteúdo principal é cálculo de valores e vetores próprios, usando o polinômio característico
p(\lambda) = -\lambda^3 + 9\lambda^2 - 24\lambda + 20
e depois resolver (A - \lambda I)x = 0 para cada raiz \lambda.

Passo 2

Para achar os autovalores, buscamos as raízes de
p(\lambda) = 0.
Testando raízes racionais \pm1, \pm2, \pm4, \pm5,\dots, vemos que
p(2) = -8 + 36 - 48 + 20 = 0,
logo \lambda=2 é raiz. Fazendo a divisão sintética de -\lambda^3 +9\lambda^2 -24\lambda +20 por (\lambda-2), obtemos o polinômio quadrático
-\bigl(\lambda^2 -7\lambda +10\bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2 -7\lambda +10 = 0
cuja solução é \lambda=2 ou \lambda=5. Concluímos que os autovalores são
\lambda_1 = 5\quad(\text{multiplicidade algébrica }1), \qquad \lambda_2 = 2\quad(\text{multiplicidade algébrica }2).éé

Passo 3

Para \lambda=5, resolvemos
(A - 5I)x = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 6 & -3 & -3\\\\ 9 & -6 & -3\\\\ 9 & -3 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0.
A primeira linha dá
6x - 3y - 3z = 0 \;\Longrightarrow\; 2x - y - z = 0 \;\Longrightarrow\; y+z = 2x.
Aplicando a segunda linha confirma y=x e então z=x. Um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda=2, resolvemos
(A - 2I)x = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 9 & -3 & -3\\\\ 9 & -3 & -3\\\\ 9 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0.
Isso dá a única equação
9x - 3y - 3z = 0 \;\Longrightarrow\; 3x - y - z = 0 \;\Longrightarrow\; y + z = 3x.
O espaço próprio tem dimensão 2. Podemos escolher, por exemplo,
  1. se y=3 e z=0, então x=1, gerando \,(1,3,0)^T.
  2. se y=0 e z=3, então x=1, gerando \,(1,0,3)^T.
    Assim, dois autovetores independentes para \lambda=2 são
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 5

A soma das dimensões dos espaços próprios é
1\;(\text{para }\lambda=5) \;+\; 2\;(\text{para }\lambda=2) \;=\;3,
que é igual à ordem de A. Logo, A tem três autovetores linearmente independentes e é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e autovetores de A: \displaystyle\lambda_{1}=5 (mult. alg. 1), autovetor
v_{1} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}; \displaystyle\lambda_{2}=2 (mult. alg. 2), autovetores independentes
v_{2} = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_{3} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix}.
Como há três autovetores independentes, A é diagonalizável.

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