Questāo extra: (30 pts) Obtenha P que diagonaliza A=\left[\begin{array}{lll}7 & 7 & 7 \\\\ 7 & 7 & 7 \\\\ 7 & 7 & 7\end{array}\right] ortogonalmente.

Passo 1

O enunciado dá a matriz simétrica
A=\begin{pmatrix} 7 & 7 & 7\\\\ 7 & 7 & 7\\\\ 7 & 7 & 7 \end{pmatrix}
e pede uma matriz ortogonal P tal que
P^{T}AP=D
com D diagonal. O conteúdo é diagonalização ortogonal de matrizes simétricas: basta achar autovalores, autovetores ortogonais e normalizá-los.

Passo 2

Como A=7J onde J é a matriz de uns, nota-se que
A\,(1,1,1)^{T}=7J\,(1,1,1)^{T}=7\cdot3\,(1,1,1)^{T}=21\,(1,1,1)^{T}.
Logo um autovalor é \lambda_{1}=21 (multiplicidade 1). Para qualquer vetor v ortogonal a (1,1,1) temos Jv=0, logo Av=7Jv=0. Assim o outro autovalor é \lambda_{2}=\lambda_{3}=0.

Passo 3

Escolhemos um autovetor associado a \lambda_{1}=21 e dois vetores em \ker A:
v_{1}=(1,1,1),\quad v_{2}=(1,-1,0),\quad v_{3}=(1,1,-2).
Aqui Av_{1}=21\,v_{1} e Av_{2}=Av_{3}=0.

Passo 4

Agora normalizamos cada v_{i} para obter vetores ortonormais e_{i}:
\|v_{1}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3},\quad \|v_{2}\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{2},\quad \|v_{3}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{6}.
Portanto
e_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}\,(1,1,1),\quad e_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,(1,-1,0),\quad e_{3}=\frac{1}{\sqrt{6}}\,(1,1,-2).

Passo 5

Montamos P cujas colunas são e_{1},e_{2},e_{3}. Por construção P é ortogonal e
P^{T}AP=\operatorname{diag}(21,0,0).

Resposta

A matriz P que diagonaliza ortogonalmente A é
P=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix},
pois satisfaz P^{T}AP=\mathrm{diag}(21,0,0).]

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