Mostre que
f(x)=x^2+x-6x^2-4, x neq 2
possui um extensão contínua em x=2 e determine a extensão.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x)=x^2+x-6x^2-4, xneq2,
e pede para mostrar que ela admite extensão contínua em x=2. Vamos usar fatoração e limite para identificar uma descontinuidade removível.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador separadamente:
x^2+x-6=(x+3)(x-2)
x^2-4=(x-2)(x+2)

Passo 3

Para xneq2 podemos cancelar o fator comum (x-2), obtendo a forma simplificada
f(x)=x+3x+2, xneq2

Passo 4

Calculamos o limite de f(x) quando xto2:
limxto2f(x) =limxto2x+3x+2 =2+32+2 =54

Passo 5

Como o limite existe e é finito, definimos a extensão
tilde f(x)= dfracx^2+x-6x^2-4, & xneq 2, dfrac54, & x=2,
que é contínua em x=2.

Resposta

A extensão contínua em x=2 é dada definindo tilde f(2)=5/4.

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