Questão 3. Resolva as equações diferenciais homogêneas ou redutíveis a homogênea abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
que é homogênea (a razão
pode ser escrita como função de
). Para resolver, vamos usar a substituição típica de equações homogêneas, que é
Passo 2
Reescrevendo a equação diferencial em forma de
, temos
Note que o lado direito depende apenas de
, confirmando que é homogênea.
Passo 3
Com a substituição
vem
Substituindo em
e usando
, obtemos
Logo
Passo 4
Separamos variáveis:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Fazendo
,
, o lado esquerdo vira
enquanto o lado direito é
Assim
Passo 6
Reescrevendo:
logo
onde
K=e^C' . Para a solução geral podemos perder os módulos e escrever
Voltando a
u = y/x , dá
Resposta
A solução geral implícita é
onde
C é constante arbitrária.