Questão 3. Resolva as equações diferenciais homogêneas ou redutíveis a homogênea abaixo:
(x^2+y^2) d x-2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x^2+y^2),dx ;-;2xy,dy=0,
que é homogênea (a razão dy/dx pode ser escrita como função de y/x). Para resolver, vamos usar a substituição típica de equações homogêneas, que é
y = u,x

Passo 2

Reescrevendo a equação diferencial em forma de dy/dx, temos
(x^2+y^2),dx = 2xy,dy Longrightarrow dydx = x^2+y^22xy
Note que o lado direito depende apenas de y/x, confirmando que é homogênea.

Passo 3

Com a substituição y = u,x vem
dydx = u + xdudx
Substituindo em dydx = x^2+y^22xy e usando y/x = u, obtemos
u + xdudx = 1+u^22u Longrightarrow xdudx = 1+u^22u - u = 1 - u^22u
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dudx = 1 - u^22u,x

Passo 4

Separamos variáveis:
2u1 - u^2,du = dxx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral 2u1 - u^2,du = integral dxx
Fazendo t = 1 - u^2, dt = -2u,du, o lado esquerdo vira
integral 2u1 - u^2,du = -integral dtt = -lnl|1 - u^2r|,
enquanto o lado direito é
integral dxx = lnl|xr| + C
Assim
-lnl|1 - u^2r| = lnl|xr| + C

Passo 6

Reescrevendo:
lnl|1 - u^2r| = -lnl|xr| + C' = ln!l|x^-1r| + C',
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l|1 - u^2r| = K,1|x|,
onde K=e^C'. Para a solução geral podemos perder os módulos e escrever
1 - u^2 = Cx
Voltando a u = y/x, dá
1 - y^2x^2 = Cx Longrightarrow x^2 - y^2 = C,x

Resposta

A solução geral implícita é
x^2 - y^2 = C,x,
onde C é constante arbitrária.

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