Questão 3. Resolva as equações diferenciais homogêneas ou redutíveis a homogênea abaixo:
y^prime=e^yx+yx

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx = e^yx + yx,
que não é linear em y mas é redutível a homogênea, pois o termo à direita depende apenas da razão tfracyx. Vamos usar a substituição
v = yx,
de modo que possamos separar variáveis.

Passo 2

Com y = v x, temos
dydx = v + xdvdx
Substituindo na equação original, obtemos
v + xdvdx = e^v + v

Passo 3

Cancelamos v dos dois lados e isolamos o termo em dv:
xdvdx = e^v Longrightarrow dve^v = dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral e^-v,dv = integral dxx Longrightarrow -,e^-v = lnl|xr| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original y, lembramos que v = tfracyx, então
-,expl(-yxr) = lnl|xr| + C Longrightarrow expl(-yxr) = -,lnl|xr| + C'
(com C'=-C).

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
expl(-yxr) + lnl|xr| = C',
onde C' é constante arbitrária.

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