Mostre que se o potencial satisfaz a condição V(x)=V(-x), a equação de Schrödinger correspondente admite soluções pares e ímpares do tipo
varphip(x)=Np[varphi(x)+varphi(-x)] varphii(x)=Ni[varphi(x)-varphi(-x)]

Passo 1

A questão trata de um potencial simétrico, isto é, satisfaz V(x)=V(-x). O conteúdo é Autovalores e Autovetores do Hamiltoniano em um potencial par, e vamos precisar usar o fato de que nesse caso o operador de paridade comuta com o Hamiltoniano.

Passo 2

Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo, temos
Hvarphi(x)=Evarphi(x),
com
H=-hbar^22md^2dx^2+V(x)
Se varphi(x) é solução, aplicando o operador de paridade P definido por Pvarphi(x)=varphi(-x), notamos que
Hl(Pvarphi(x)r)=Hvarphi(-x)=Evarphi(-x)=El(Pvarphi(x)r)
porque V(-x)=V(x) e a segunda derivada preserva o sinal. Assim, varphi(-x) também é solução com o mesmo E.

Passo 3

Como varphi(x) e varphi(-x) são duas soluções com a mesma energia, podemos formar combinações lineares que sejam funções de paridade bem definidas. Definimos então
varphip(x)=Npl[varphi(x)+varphi(-x)r]
e
varphii(x)=Nil[varphi(x)-varphi(-x)r]
É fácil ver que
varphip(-x)=+varphip(x)
e
varphii(-x)=-varphii(x),
mostrando que são, respectivamente, pares e ímpares.

Passo 4

Os fatores Np e Ni são constantes de normalização, escolhidas de modo que
integral-infty^+infty|varphip(x)|^2,dx=1,
integral-infty^+infty|varphii(x)|^2,dx=1

Resposta

As soluções com paridade bem definida são
varphip(x)=Npl[varphi(x)+varphi(-x)r],
$$
\varphi_{i}(x)=N_{i}\bigl[\varphi(x)-\varphi(-x)\bigr].$$

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