Mostre que se o potencial satisfaz a condição
, a equação de Schrödinger correspondente admite soluções pares e ímpares do tipo
Passo 1
A questão trata de um potencial simétrico, isto é, satisfaz
. O conteúdo é Autovalores e Autovetores do Hamiltoniano em um potencial par, e vamos precisar usar o fato de que nesse caso o operador de paridade comuta com o Hamiltoniano.
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo, temos
com
Se
é solução, aplicando o operador de paridade
definido por
, notamos que
porque
e a segunda derivada preserva o sinal. Assim,
também é solução com o mesmo
.
Passo 3
Como
e
são duas soluções com a mesma energia, podemos formar combinações lineares que sejam funções de paridade bem definidas. Definimos então
e
É fácil ver que
e
mostrando que são, respectivamente, pares e ímpares.
Passo 4
Os fatores
e
são constantes de normalização, escolhidas de modo que
Resposta
As soluções com paridade bem definida são
$$
\varphi_{i}(x)=N_{i}\bigl[\varphi(x)-\varphi(-x)\bigr].$$