Verifique que as seguintes funções são representações da “função”
, quando
é positivo e real
Passo 1
Começamos resumindo o enunciado: queremos mostrar que a família de funções
é uma sequência de aproximação da delta de Dirac, ou seja, satisfaz duas condições principais: para todo
Passo 2
Para
, o argumento
cresce sem limite quando
. A função
então oscila cada vez mais rápido entre
, fazendo com que sua média seja nula. Logo,
Passo 3
Vamos verificar a normalização calculando a integral
Fazendo a substituição
, temos
e
. Então
Passo 4
Logo,
Passo 5
Como mostramos que (i) para
,
e (ii)
, concluímos que essa família é uma representação da delta de Dirac. Portanto,
$$\delta(x)=\frac{1}{\pi}\lim_{\epsilon\to0}\frac{\sin(x/\epsilon)}{x}.
$$
Resposta
A família
satisfaz as duas propriedades essenciais de uma sequência de aproximação da delta de Dirac, logo converge em distribuição para
.