Verifique que as seguintes funções são representações da “função”
de, quando epsilon é positivo e real
de

Passo 1

Começamos resumindo o enunciado: queremos mostrar que a família de funções
fepsilon(x)=1pisin(x/epsilon)x
é uma sequência de aproximação da delta de Dirac, ou seja, satisfaz duas condições principais: para todo xneq0, fepsilon(x)to0 quando epsilonto0, e a integral de fepsilon no eixo real é igual a 1.

Passo 2

Para xneq0, o argumento x/epsilon cresce sem limite quando epsilonto0. A função sin(x/epsilon) então oscila cada vez mais rápido entre pm1, fazendo com que sua média seja nula. Logo,
limepsilonto0fepsilon(x)=limepsilonto01pisin(x/epsilon)x=0

Passo 3

Vamos verificar a normalização calculando a integral
integral-infty^inftyfepsilon(x),dx = 1piintegral-infty^inftysin(x/epsilon)x,dx
Fazendo a substituição u=x/epsilon, temos x=epsilon u e dx=epsilon,du. Então
integral-infty^inftysin(x/epsilon)x,dx = integral-infty^inftysin(u)epsilon u,epsilon,du = integral-infty^inftysin(u)u,du = pi

Passo 4

Logo,
integral-infty^inftyfepsilon(x),dx = 1picdotpi = 1

Passo 5

Como mostramos que (i) para xneq0, fepsilon(x)to0 e (ii) integral-infty^inftyfepsilon(x),dx=1, concluímos que essa família é uma representação da delta de Dirac. Portanto,
$$\delta(x)=\frac{1}{\pi}\lim_{\epsilon\to0}\frac{\sin(x/\epsilon)}{x}.
$$

Resposta

A família fepsilon(x)=1pisin(x/epsilon)x satisfaz as duas propriedades essenciais de uma sequência de aproximação da delta de Dirac, logo converge em distribuição para de.

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