Verifique que as seguintes funções são representações da “função”
, quando
é positivo e real
Passo 1
O exercício pede para mostrar que a família de funções
, com
, se comporta como a delta de Dirac quando
. Para isso vamos usar a definição de sequência aproximadora de
: 1)
e tende a zero para todo
; 2)
.
Passo 2
Primeiro, note que para todo
e
temos
, pois numerador e denominador são positivos. Além disso, se
for fixo e
, o numerador
vai a zero enquanto o denominador
. Logo,
para todo
.
Passo 3
Agora vamos verificar a normalização. Calculemos
Usando a primitiva
, temos
Assim,
Passo 4
Como mostramos que (i)
e tende a zero para
, e (ii) a integral sobre
é 1 para todo
, concluímos que
é de fato uma representação da delta de Dirac. No limite
ela se concentra em
com área unitária.
Resposta
\displaystyle\frac{1}{\pi}\lim_{\epsilon\to0}\frac{\epsilon}{x2+\epsilon2}=\delta(x)