Verifique que as seguintes funções são representações da “função”
de, quando epsilon é positivo e real
de

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a família de funções de, com epsilon>0, se comporta como a delta de Dirac quando epsilonto0. Para isso vamos usar a definição de sequência aproximadora de de: 1) de=0 e tende a zero para todo xneq0; 2) integral-infty^inftyde.

Passo 2

Primeiro, note que para todo x e epsilon>0 temos de=0, pois numerador e denominador são positivos. Além disso, se xneq0 for fixo e epsilonto0, o numerador epsilon vai a zero enquanto o denominador x^2+epsilon^2to x^2neq0. Logo, limepsilonto0de para todo xneq0.

Passo 3

Agora vamos verificar a normalização. Calculemos
integral-infty^inftyde
Usando a primitiva integraldxx^2+epsilon^2=1epsilonarctanxepsilon, temos
integral-infty^inftyepsilonx^2+epsilon^2,dx =epsiloncdot1epsilonl[arctanxepsilonr]-infty^infty =l[arctanxepsilonr]-infty^infty =pi2-l(-pi2r)=pi
Assim,
1piintegral-infty^inftyepsilonx^2+epsilon^2,dx=1picdotpi=1

Passo 4

Como mostramos que (i) de=0 e tende a zero para xneq0, e (ii) a integral sobre R é 1 para todo epsilon>0, concluímos que de é de fato uma representação da delta de Dirac. No limite epsilonto0 ela se concentra em x=0 com área unitária.

Resposta

\displaystyle\frac{1}{\pi}\lim_{\epsilon\to0}\frac{\epsilon}{x2+\epsilon2}=\delta(x)

Exercícios relacionados