Questão 2 [2.5ptos] Calcule o fluxo que
F(x, y, z)=\left(x \operatorname{arctg}\left(z^{2}\right), x^{3}-y \operatorname{arctg}\left(z^{2}\right), x^{2} y^{3} \cos (\pi z)\right)
através da superfície S formada pelas faces paralelas ao eixo z do cubo [0,1] \times[0,1] \times[0,1].

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=\bigl(x\,\arctan(z^2),\;x^3 - y\,\arctan(z^2),\;x^2 y^3\cos(\pi z)\bigr)
e pede o fluxo de F através da superfície S formada pelas quatro faces do cubo [0,1]\times[0,1]\times[0,1] que são paralelas ao eixo z.
O conteúdo aqui é integral de superfície: para cada face, calculamos
\iint_{S_i}F\cdot n\,dS
e depois somamos.

Passo 2

As faces paralelas a z são:
x=0 com normal exterior n=(-1,0,0),
x=1 com normal exterior n=(1,0,0),
y=0 com normal exterior n=(0,-1,0),
y=1 com normal exterior n=(0,1,0).
Em cada face, dS = d(\text{parâmetros})â e basta avaliar F\cdot n.

Passo 3

Face x=0:
F\cdot n = F_x\cdot(-1) = -x\,\arctan(z^2)\Big|_{x=0} = 0,
logo o fluxo é zero.
Face x=1:
F\cdot n = F_x = x\,\arctan(z^2)\Big|_{x=1} = \arctan(z^2).
Como y e z variam em [0,1],
\Phi_{x=1} =\int_{y=0}^{1}\!\!\int_{z=0}^{1}\arctan(z^2)\,dz\,dy =\int_{0}^{1}\arctan(z^2)\,dz\;\underbrace{\int_{0}^{1}dy}_{1} =\int_{0}^{1}\arctan(z^2)\,dz.

Passo 4

Face y=0:
F\cdot n = F_y\cdot(-1) = -\bigl(x^3 - y\,\arctan(z^2)\bigr)\Big|_{y=0} = -x^3.
Assim
\Phi_{y=0} =\int_{x=0}^{1}\!\!\int_{z=0}^{1}(-x^3)\,dz\,dx =-\int_{0}^{1}x^3\Bigl(\int_{0}^{1}dz\Bigr)dx =-\int_{0}^{1}x^3\,dx =-\frac{1}{4}.
Face y=1:
F\cdot n = F_y = x^3 - y\,\arctan(z^2)\Big|_{y=1} = x^3 - \arctan(z^2),
e
\Phi_{y=1} =\int_{x=0}^{1}\!\!\int_{z=0}^{1}\bigl(x^3 - \arctan(z^2)\bigr)\,dz\,dx =\int_{0}^{1}x^3\,dx\;\int_{0}^{1}dz \;-\;\int_{0}^{1}dx\;\int_{0}^{1}\arctan(z^2)\,dz =\frac{1}{4}-\int_{0}^{1}\arctan(z^2)\,dz.

Passo 5

Somando os quatro fluxos:
0 \;+\;\int_{0}^{1}\arctan(z^2)\,dz \;-\;\frac14 \;+\;\Bigl(\frac14-\int_{0}^{1}\arctan(z^2)\,dz\Bigr) =0.

Resposta

O fluxo de F através de S é 0.

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