e pede o fluxo de F através da superfície S formada pelas quatro faces do cubo [0,1]\times[0,1]\times[0,1] que são paralelas ao eixo z.
O conteúdo aqui é integral de superfície: para cada face, calculamos
\iint_{S_i}F\cdot n\,dS
e depois somamos.
Passo 2
As faces paralelas a z são:
– x=0 com normal exterior n=(-1,0,0),
– x=1 com normal exterior n=(1,0,0),
– y=0 com normal exterior n=(0,-1,0),
– y=1 com normal exterior n=(0,1,0).
Em cada face, dS = d(\text{parâmetros}) e basta avaliar F\cdot n.
Passo 3
Face x=0:
F\cdot n = F_x\cdot(-1) = -x\,\arctan(z^2)\Big|_{x=0} = 0,
logo o fluxo é zero.
Face x=1:
F\cdot n = F_x = x\,\arctan(z^2)\Big|_{x=1} = \arctan(z^2).