Questão 3 [2.5ptos] Calcule \int_{C} \vec{F} d \vec{\gamma}, onde
\left.\vec{F}(x, y, z)=\left(y z+x^{3}, 2 x z+3 y^{2}, x y+4\right)\right)
e C é a curva obtida como interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano x-2 y-z=3.

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec\gamma,
onde
\vec F(x,y,z) = \bigl(yz + x^{3},\;2xz + 3y^{2},\;xy + 4\bigr)
e C é a curva fechada dada pela interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano
x - 2y - z = 3.
O conteúdo aqui é parametrizar C e calcular
\int_{0}^{2\pi} \vec F\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t)\,dt.

Passo 2

Parametrizamos a curva: sobre o cilindro x=\cos t,\;y=\sin t, e do plano
z = x - 2y - 3 = \cos t - 2\sin t - 3.
Logo
r(t) = \bigl(\cos t,\;\sin t,\;\cos t - 2\sin t - 3\bigr),\quad 0\le t\le 2\pi,
e
r'(t) = \bigl(-\sin t,\;\cos t,\;-\,\sin t -2\cos t\bigr).

Passo 3

Substituímos em \vec F:
\vec F\bigl(r(t)\bigr) = \Bigl(\sin t\,( \cos t -2\sin t -3)+\cos^{3}t,\; 2\cos t\,(\cos t -2\sin t -3)+3\sin^{2}t,\; \cos t\sin t+4\Bigr).

Passo 4

O produto escalar é
\vec F\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t) =3\sin^{2}t \;-\;6\cos^{2}t \;+\;\bigl(\text{termos de média zero em }[0,2\pi]\bigr).é
De fato, todas as funções ímpares de \sin t ou \cos t somam zero em um período.

Passo 5

Calculamos as partes não nulas:
\int_{0}^{2\pi}3\sin^{2}t\,dt =3\cdot\pi, \qquad \int_{0}^{2\pi}6\cos^{2}t\,dt =6\cdot\pi,
portanto
\int_{0}^{2\pi}\bigl(3\sin^{2}t-6\cos^{2}t\bigr)\,dt =3\pi-6\pi=-3\pi.

Resposta

\boxed{-3\pi}.

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