Verifique se vec{u} e vec{v} são L.I. ou L.D.
vec{u}=(0,11,1), vec{v}=(0,-22,-2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores \vec{u}=(0,11,1) e \vec{v}=(0,-22,-2)
são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). O conteúdo é dependência linear em \mathbb{R}^3, e para resolver vamos usar a definição de combinação linear não trivial que zera o par de vetores.

Passo 2

Pela definição, \vec{u} e \vec{v} são L.D. se existem escalares a,b, não ambos zero, tais que
a\,\vec{u} + b\,\vec{v} = \vec{0}.
Equivalentemente, podemos checar se \vec{v} é múltiplo escalar de \vec{u}, ou seja, se existe c\in\mathbb{R} tal que \vec{v}=c\,\vec{u}.

Passo 3

Suponha \vec{v}=c\,\vec{u}. Comparando componentes:
pela primeira componente: 0 = c\cdot 0 (sempre válida);
pela segunda componente: -22 = c\cdot 11 \;\Rightarrow\;c = -2;
pela terceira componente: -2 = c\cdot 1 = -2, consistente.
Logo
\vec{v} = -2\,\vec{u}.

Passo 4

Como \vec{v} é múltiplo escalar de \vec{u}, existe combinação não trivial (por exemplo 2\,\vec{u} + \vec{v}=\vec{0}), logo \vec{u} e \vec{v} são linearmente dependentes.

Resposta

\vec{u} e \vec{v} são L.D. (linearmente dependentes).

Exercícios relacionados