Mostre que a projeção ortogonal de um vetor v em um subespaço W de R^n é única e pode ser calculada por
pW=sumi=1^k lang<=v, wirang<=lang<=wi, wirang<= wi
onde w1, ldots, wk é uma base ortogonal de W.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço euclidiano R^n com produto interno lang<=cdot,cdotrang<=, dado um subespaço W de dimensão k e uma base ortogonal w1,dots, wk de W, existe um único vetor pWin W tal que v- pW é ortogonal a todo vetor de W, e que esse pW é dado por
pW =sumi=1^klang<= v, wirang<=lang<= wi, wirang<=, wi
Vamos usar a ideia de decomposição ortogonal e as propriedades do produto interno.

Passo 2

Como w1,dots, wk é base de W, qualquer pin W pode ser escrito como combinação linear
p =sumi=1^k ai, wi
Queremos escolher os coeficientes ai de modo que v- p seja ortogonal a cada wj, ou seja
lang<= v- p, wjrang<= =0 para j=1,dots,k
Substituindo p=sumi ai wi obtemos
lang<= v, wjrang<= -sumi=1^k ai,lang<= wi, wjrang<= =0

Passo 3

Como a base é ortogonal, lang<= wi, wjrang<==0 sempre que ineq j, e vale lang<= wj, wjrang<= quando i=j. Logo o somatório reduz-se a um único termo:
lang<= v, wjrang<= - aj,lang<= wj, wjrang<= =0 Longrightarrow aj =lang<= v, wjrang<=lang<= wj, wjrang<=
Portanto a única escolha que garante ortogonalidade é
pW =sumi=1^k lang<= v, wirang<=lang<= wi, wirang<=, wi

Passo 4

Verificamos que pW assim definido está em W (é combinação linear dos wi) e que para todo j
lang<= v- pW, wjrang<= =0,
portanto v- pW é ortogonal a todo W. Isso mostra que pW tem as propriedades de projeção ortogonal.

Passo 5

Para provar a unicidade, suponha que exista outro qin W tal que v- q também seja ortogonal a W. Então
pW- q in W e lang<= pW- q, wrang<==0 para todo win W
Em particular, pW- q é ortogonal a si mesmo, daí
lang<= pW- q, pW- qrang<==0
o que implica pW- q= 0. Logo pW= q e a projeção é única.

Resposta

pW =sumi=1^k lang<= v, wirang<=lang<= wi, wirang<=, wi,
e ela é única.

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