Mostre que a projeção ortogonal de um vetor
em um subespaço
de
é única e pode ser calculada por
onde
é uma base ortogonal de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço euclidiano
com produto interno
, dado um subespaço
de dimensão
e uma base ortogonal
de
, existe um único vetor
tal que
é ortogonal a todo vetor de
, e que esse
é dado por
Vamos usar a ideia de decomposição ortogonal e as propriedades do produto interno.
Passo 2
Como
é base de
, qualquer
pode ser escrito como combinação linear
Queremos escolher os coeficientes
de modo que
seja ortogonal a cada
, ou seja
Substituindo
obtemos
Passo 3
Como a base é ortogonal,
sempre que
, e vale
quando
. Logo o somatório reduz-se a um único termo:
Portanto a única escolha que garante ortogonalidade é
Passo 4
Verificamos que
assim definido está em
(é combinação linear dos
) e que para todo
portanto
é ortogonal a todo
. Isso mostra que
tem as propriedades de projeção ortogonal.
Passo 5
Para provar a unicidade, suponha que exista outro
tal que
também seja ortogonal a
. Então
Em particular,
é ortogonal a si mesmo, daí
o que implica
. Logo
e a projeção é única.
Resposta
e ela é única.