Mostre que:
\quad 21^{n} \equiv 6(\bmod 15) para todo inteiro n \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n\ge 1, a congruência
21^{n} \equiv 6 \pmod{15}
é verdadeira.
Informações dadas: a expressão 21^{n} e o módulo 15. A tarefa é provar que o resto da divisão de 21^{n} por 15 é sempre 6, para qualquer n\ge1.

Passo 2

Primeiro fato útil (fácil de verificar): podemos reduzir a base módulo 15. Calcule:
21-6=15,
logo 21\equiv 6 \pmod{15}. Isto significa que ao trabalhar com potências de 21 módulo 15 podemos, sem perder informação, substituir 21 por 6.

Passo 3

Propriedade de congruências que vamos usar: se a\equiv b \pmod{m} então, para todo inteiro n\ge1,
a^{n}\equiv b^{n} \pmod{m}.
Explicando por que isso vale: multiplique a congruência a\equiv b por ela mesma n vezes (ou faça indução). Como a congruência é preservada por multiplicação, o resultado é a^{n}\equiv b^{n}.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao caso concreto: de 21\equiv 6 \pmod{15} segue
21^{n}\equiv 6^{n} \pmod{15}\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 5

Agora mostramos que 6^{n}\equiv 6 \pmod{15} para todo n\ge1. Observe que
6^{2}=36
e
36-6=30,
logo 36\equiv 6 \pmod{15}, isto é,
6^{2}\equiv 6 \pmod{15}.
A partir daqui fazemos uma breve indução: para n=1 a afirmação é verdadeira ( 6^{1}\equiv 6). Suponha 6^{k}\equiv 6 para algum k\ge1; então
6^{k+1}=6\cdot 6^{k}\equiv 6\cdot 6 = 36 \equiv 6 \pmod{15}.
Portanto, por indução, 6^{n}\equiv 6 \pmod{15} para todo n\ge1. (Uma observação alternativa e rápida: como 6^{2}\equiv6, multiplicando ambos os lados por 6^{n-2} obtemos 6^{n}\equiv6 para todo n\ge2, e o caso n=1 é trivial.)

Passo 6

Concluímos unindo os passos: 21^{n}\equiv 6^{n}\pmod{15} (Passo 4) e 6^{n}\equiv 6\pmod{15} (Passo 5). Assim,
21^{n}\equiv 6 \pmod{15}\quad\text{para todo }n\ge1.

Resposta

\;21^{n}\equiv 6\pmod{15} para todo inteiro n\ge 1.

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