Mostre que:
Para qualquer inteiro
, na divisão de
por 8 , os únicos restos são 1 e 7 .
Para qualquer inteiro
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que, para qualquer inteiro
, ao dividir
por
o resto é sempre ou
ou
.
Informações dadas: é um número inteiro positivo. Nada mais é fornecido explicitamente. A tarefa é caracterizar os possíveis restos da divisão de
por
.
Informações dadas:
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “resto” em termos de congruência modular. Dizemos que um inteiro
deixa resto
na divisão por
se e somente se existe inteiro
tal que
com
. Em linguagem de congruência isso equivale a escrever
Ou seja, “resto ao dividir por
” equivale a trabalhar com congruências módulo
.
Passo 3
Calcule o resto de
na divisão por
. Como
temos
Também é útil notar que
é congruente a
módulo
, porque
ou seja,
Passo 4
Propriedade importante (explicação didática): se
então, para qualquer inteiro
,
Por que isso vale? Rápida justificativa: se
para algum inteiro
, então ao elevar ao quadrado obtemos
, e os dois últimos termos são múltiplos de
, logo
. Repetindo o argumento (ou usando indução) chega-se à potência
.
Passo 5
Aplique a propriedade ao nosso caso. Temos
, então
Agora observe o valor de
: se
é par então
; se
é ímpar então
.
Passo 6
Traduzindo
em resto entre
e
: o número congruente a
módulo
e que está no intervalo de restos usuais
é
, já que
. Assim:
- Se
é par, então , ou seja, o resto é . - Se
é ímpar, então , ou seja, , logo o resto é .
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar e ter confiança:
-
: e , resto . -
: e , resto .
Isso confirma o padrão alternante.
Passo 8
Conclusão final: a razão do comportamento é simples e prática na prova — basta reduzir a base módulo
e usar que potências preservam congruências. Se preferir também é possível fazer por indução: a multiplicação por
troca o resto entre
e
, iniciando em
para
.
Resposta
Se
é par: resto
.
Se é ímpar: resto
.
Se