Mostre que:
Para qualquer inteiro n \geq 1, na divisão de 15^{n} por 8 , os únicos restos são 1 e 7 .

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que, para qualquer inteiro n\ge 1, ao dividir 15^{n} por 8 o resto é sempre ou 1 ou 7.
Informações dadas: n é um número inteiro positivo. Nada mais é fornecido explicitamente. A tarefa é caracterizar os possíveis restos da divisão de \,15^{n}\, por \,8.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “resto” em termos de congruência modular. Dizemos que um inteiro a deixa resto r na divisão por m se e somente se existe inteiro q tal que
a = mq + r
com 0 \le r < m. Em linguagem de congruência isso equivale a escrever
a \equiv r \pmod{m}.
Ou seja, “resto ao dividir por 8” equivale a trabalhar com congruências módulo 8.

Passo 3

Calcule o resto de 15 na divisão por 8. Como
15 = 8\cdot 1 + 7,
temos
15 \equiv 7 \pmod{8}.
Também é útil notar que 7 é congruente a -1 módulo 8, porque
7 - (-1) = 8,
ou seja,
7 \equiv -1 \pmod{8}.

Passo 4

Propriedade importante (explicação didática): se a \equiv b \pmod{m} então, para qualquer inteiro n\ge 1,
a^{n} \equiv b^{n} \pmod{m}.
Por que isso vale? Rápida justificativa: se a=b+km para algum inteiro k, então ao elevar ao quadrado obtemos (b+km)^{2}=b^{2}+2bkm+(km)^{2}, e os dois últimos termos são múltiplos de m, logo (b+km)^{2}\equiv b^{2}\pmod{m}. Repetindo o argumento (ou usando indução) chega-se à potência n.

Passo 5

Aplique a propriedade ao nosso caso. Temos 15 \equiv -1 \pmod{8}, então
15^{n} \equiv (-1)^{n} \pmod{8}.
Agora observe o valor de (-1)^{n}: se n é par então (-1)^{n}=1; se n é ímpar então (-1)^{n}=-1.

Passo 6

Traduzindo (-1)^{n} em resto entre 0 e 7: o número congruente a -1 módulo 8 e que está no intervalo de restos usuais [0,7] é 7, já que -1\equiv 7\pmod{8}. Assim:
  • Se n é par, então 15^{n}\equiv 1\pmod{8}, ou seja, o resto é 1.
  • Se n é ímpar, então 15^{n}\equiv -1\pmod{8}, ou seja, 15^{n}\equiv 7\pmod{8}, logo o resto é 7.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar e ter confiança:
  • n=1: 15^{1}=15 e 15=8\cdot1+7, resto 7.
  • n=2: 15^{2}=225 e 225=8\cdot28+1, resto 1.
    Isso confirma o padrão alternante 7,1,7,1,\dots.

Passo 8

Conclusão final: a razão do comportamento é simples e prática na prova — basta reduzir a base módulo 8 e usar que potências preservam congruências. Se preferir também é possível fazer por indução: a multiplicação por 15\equiv -1 troca o resto entre 1 e 7, iniciando em 7 para n=1.

Resposta

Se n é par: resto 1.
Se n é ímpar: resto 7.

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