Para todo n \in \mathbb{N}, mostrar que:
\quad 101^{6 n}-1 é divisível por 70

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre que, para todo n \in \mathbb{N}, o número 101^{6n}-1 é divisível por 70.
Informações dadas: o expoente é 6n com n natural e a base é 101. O objetivo final é provar que 70 \mid (101^{6n}-1).

Passo 2

Ideia e ferramentas que vou usar (explicando bem): trabalhar com congruências (aritmética modular) e decompor 70 em fatores primos.
Definição de congruência: dizer a \equiv b \pmod{m} significa que m divide a-b. Propriedade importante: se a \equiv b \pmod{m} então, para qualquer inteiro k, a^k \equiv b^k \pmod{m}. Isso vale porque você pode multiplicar congruências por si mesmas repetidas vezes. Exemplo simples: se 7 \equiv 2 \pmod{5} (porque 7-2=5 é múltiplo de 5), então 7^2 \equiv 2^2 \pmod{5}, isto é 49 \equiv 4 \pmod{5}.
Fatoração de 70: escrevo 70 = 2\cdot 5\cdot 7. Como esses fatores são dois a dois coprimos (gcd entre quaisquer dois é 1), basta provar que 101^{6n}-1 é divisível por cada um dos números 2, 5 e 7. Se um inteiro é divisível por números coprimos r e s, então é divisível por rs (prova curta: se r\mid a e s\mid a e \gcd(r,s)=1, então a=rk e rk=s\ell; como \gcd(r,s)=1, isso força k múltiplo de s, logo rs\mid a). Aplicando isso duas vezes, concluiremos divisibilidade por 70.

Passo 3

Divisibilidade por \,2:
Observe que 101 é ímpar, então 101 \equiv 1 \pmod{2}. Usando a propriedade de potências de congruências,
101^{6n} \equiv 1^{6n} \pmod{2},
portanto 101^{6n}-1 \equiv 0 \pmod{2}. Conclusão: 2 \mid (101^{6n}-1) para todo n.

Passo 4

Divisibilidade por \,5:
Calculo 101 \bmod 5. Como 100 é múltiplo de 5, tem-se 101 \equiv 1 \pmod{5}. Novamente,
101^{6n} \equiv 1^{6n} \pmod{5},
logo 101^{6n}-1 \equiv 0 \pmod{5}. Conclusão: 5 \mid (101^{6n}-1) para todo n.

Passo 5

Divisibilidade por \,7:
Primeiro reduzo a base módulo 7: 101 \div 7 = 14 resto 3, então 101 \equiv 3 \pmod{7}. Portanto
101^{6n} \equiv 3^{6n} \pmod{7}.
Agora uso um fato simples (Teorema de Fermat ou cálculo direto): para todo inteiro a com \gcd(a,7)=1, vale a^{6} \equiv 1 \pmod{7} (porque 7 é primo e 7-1=6). Em particular, com a=3,
3^{6} \equiv 1 \pmod{7}.
Posso também verificar direto: 3^{6}=729 e 729-1=728 é múltiplo de 7 (pois 7\cdot104=728), então 3^{6}\equiv1\pmod{7}. Assim
3^{6n}=(3^{6})^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1 \pmod{7},
o que dá 101^{6n}-1 \equiv 0 \pmod{7}. Conclusão: 7 \mid (101^{6n}-1) para todo n.

Passo 6

Combinação das três divisibilidades:
Mostrei que 2 \mid (101^{6n}-1), 5 \mid (101^{6n}-1) e 7 \mid (101^{6n}-1). Como 2,\;5,\;7 são dois a dois coprimos, pela propriedade indicada no Passo 2 segue que o produto 2\cdot 5\cdot 7 = 70 divide 101^{6n}-1. Portanto 70 \mid (101^{6n}-1) para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 7

Conclusão final e incentivo: está provado passo a passo que 101^{6n}-1 é múltiplo de 70 para qualquer n natural. Excelente — você já tem a estrutura padrão para outros problemas parecidos: reduzir a base módulo cada fator primo e usar teoremas de potência como o de Fermat quando necessário. Vai dar certo na prova!

Resposta

101^{6n}-1 é divisível por 70 para todo n\in\mathbb{N}.

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