Para todo
, mostrar que:
é divisível por 70
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre que, para todo
, o número
é divisível por
.
Informações dadas: o expoente é com
natural e a base é
. O objetivo final é provar que
.
Informações dadas: o expoente é
Passo 2
Ideia e ferramentas que vou usar (explicando bem): trabalhar com congruências (aritmética modular) e decompor
em fatores primos.
Definição de congruência: dizer significa que
divide
. Propriedade importante: se
então, para qualquer inteiro
,
. Isso vale porque você pode multiplicar congruências por si mesmas repetidas vezes. Exemplo simples: se
(porque
é múltiplo de
), então
, isto é
.
Definição de congruência: dizer
Fatoração de
: escrevo
. Como esses fatores são dois a dois coprimos (gcd entre quaisquer dois é
), basta provar que
é divisível por cada um dos números
,
e
. Se um inteiro é divisível por números coprimos
e
, então é divisível por
(prova curta: se
e
e
, então
e
; como
, isso força
múltiplo de
, logo
). Aplicando isso duas vezes, concluiremos divisibilidade por
.
Passo 3
Divisibilidade por
:
Observe que é ímpar, então
. Usando a propriedade de potências de congruências,
Observe que
portanto
. Conclusão:
para todo
.
Passo 4
Divisibilidade por
:
Calculo . Como
é múltiplo de
, tem-se
. Novamente,
Calculo
logo
. Conclusão:
para todo
.
Passo 5
Divisibilidade por
:
Primeiro reduzo a base módulo :
resto
, então
. Portanto
Primeiro reduzo a base módulo
Agora uso um fato simples (Teorema de Fermat ou cálculo direto): para todo inteiro
com
, vale
(porque
é primo e
). Em particular, com
,
Posso também verificar direto:
e
é múltiplo de
(pois
), então
. Assim
o que dá
. Conclusão:
para todo
.
Passo 6
Combinação das três divisibilidades:
Mostrei que ,
e
. Como
são dois a dois coprimos, pela propriedade indicada no Passo 2 segue que o produto
divide
. Portanto
para todo
.
Mostrei que
Passo 7
Conclusão final e incentivo: está provado passo a passo que
é múltiplo de
para qualquer
natural. Excelente — você já tem a estrutura padrão para outros problemas parecidos: reduzir a base módulo cada fator primo e usar teoremas de potência como o de Fermat quando necessário. Vai dar certo na prova!