Mostre que:
\quad \forall n \in \mathbb{N}, 4 \nmid\left(n^{2}+2\right))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}, o número n^2+2 nunca é múltiplo de 4. O conteúdo é congruências módulo 4, e vamos usar o fato de que o quadrado de um inteiro só pode ser congruente a 0 ou 1 quando reduzido mod 4.

Passo 2

Um inteiro n deixa resto 0, 1, 2 ou 3 na divisão por 4. Calculamos então n^2 nessas quatro situações:
\begin{aligned} n\equiv0\pmod4&\quad\Rightarrow\quad n^2\equiv0\pmod4,\\\ n\equiv1\pmod4&\quad\Rightarrow\quad n^2\equiv1\pmod4,\\\ n\equiv2\pmod4&\quad\Rightarrow\quad n^2\equiv4\equiv0\pmod4,\\\ n\equiv3\pmod4&\quad\Rightarrow\quad n^2\equiv9\equiv1\pmod4. \end{aligned}
Dessa forma, em todos os casos
n^2\equiv0\pmod4\quad\text{ou}\quad n^2\equiv1\pmod4.

Passo 3

Ao acrescentar 2 a n^2, temos
n^2+2\equiv0+2\equiv2\pmod4\quad\text{ou}\quad n^2+2\equiv1+2\equiv3\pmod4.
Como 2 e 3 não são congruentes a 0 módulo 4, concluímos que n^2+2 nunca é divisível por 4.

Resposta

Portanto, para todo n\in\mathbb{N}, vale
4\nmid\bigl(n^2+2\bigr).

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