Seja x_{1}=1 e defina x_{n+1}=2-\frac{1}{x_{n}}. Mostre que ( x_{n} ) é monótona e limitada. Calcule
\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} .

Passo 1

O enunciado define a sequência \bigl(x_n\bigr) por
x_{1}=1, \quad x_{n+1}=2-\frac{1}{x_{n}}.
Pede-se para mostrar que \bigl(x_n\bigr) é monótona e limitada e para calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n. O conteúdo envolve análise de recorrência e pontos fixos.

Passo 2

Calculamos os primeiros termos para conjecturar o comportamento.
x_{1}=1 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=2-\frac{1}{x_{1}}=2-\frac{1}{1}=1.
Logo x_{2}=1. Repetindo:
x_{3}=2-\frac{1}{x_{2}}=2-\frac{1}{1}=1,
e assim por diante.

Passo 3

Prova por indução de que x_{n}=1 para todo n\ge1.
Base n=1: x_{1}=1 por definição.
Passo indutivo: suponha x_{k}=1. Então
x_{k+1}=2-\frac{1}{x_{k}} =2-\frac{1}{1} =1.
Logo x_{k+1}=1. Assim, por indução, x_{n}=1 para todo n.

Passo 4

Como x_{n}=1 para todo n, a sequência é constante.
– Monotonicidade: uma sequência constante é simultaneamente não decrescente e não crescente.
– Limitação: vale sempre 1, logo 1\le x_{n}\le1.

Resposta

\lim_{n\to\infty}x_{n}=1.

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