Seja
e defina
. Mostre que (
) é monótona e limitada. Calcule
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Pede-se para mostrar que
é monótona e limitada e para calcular
. O conteúdo envolve análise de recorrência e pontos fixos.
Passo 2
Calculamos os primeiros termos para conjecturar o comportamento.
Logo
. Repetindo:
e assim por diante.
Passo 3
Prova por indução de que
para todo
.
Base :
por definição.
Passo indutivo: suponha . Então
Base
Passo indutivo: suponha
Logo
. Assim, por indução,
para todo
.
Passo 4
Como
para todo
, a sequência é constante.
– Monotonicidade: uma sequência constante é simultaneamente não decrescente e não crescente.
– Limitação: vale sempre , logo
.
– Monotonicidade: uma sequência constante é simultaneamente não decrescente e não crescente.
– Limitação: vale sempre