Mostre que quaisquer duas permutações
possuem a mesma estrutura cíclica se, e somente se, existe uma permutação
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
, duas permutações
e
têm a mesma estrutura cíclica se, e somente se, existe
tal que
O conteúdo aqui é classe de conjugação em grupos e notação cíclica em
. Vamos usar que conjugação corresponde a renomear os elementos mantendo o comprimento de cada ciclo.
Passo 2
Suponha primeiro que exista
tal que
. Se
contém um ciclo
então para cada
temos
mostrando que
contém o ciclo
Logo cada ciclo de
gera em
um ciclo de mesmo comprimento, o que prova que
e
têm a mesma estrutura cíclica.
Passo 3
Agora suponha que
e
tenham a mesma estrutura cíclica. Escreva
como produto de ciclos disjuntos
e escolha em
ciclos disjuntos de comprimentos iguais:
Como os comprimentos coincidem, podemos definir uma aplicação
que em cada bloco manda
e assim por diante para todos os ciclos. Essa
é bijetora porque mapeia disjuntamente cada elemento de
em um de
. Logo
.
Passo 4
Para ver que
, basta notar que, para todo
,
Isso vale para todos os
, portanto
e
atuam da mesma forma em cada elemento, ou seja
Resposta
Concluímos que duas permutações em
são conjugadas entre si se, e somente se, possuem a mesma estrutura cíclica.