Mostre que quaisquer duas permutações alpha, beta in Sn possuem a mesma estrutura cíclica se, e somente se, existe uma permutação gamma tal que beta=gamma alpha gamma^-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em Sn, duas permutações alpha e beta têm a mesma estrutura cíclica se, e somente se, existe gammain Sn tal que
beta ;=;gamma,alpha,gamma^-1
O conteúdo aqui é classe de conjugação em grupos e notação cíclica em Sn. Vamos usar que conjugação corresponde a renomear os elementos mantendo o comprimento de cada ciclo.

Passo 2

Suponha primeiro que exista gamma tal que beta=gammaalphagamma^-1. Se alpha contém um ciclo
(a1;a2;dots;ak),
então para cada i temos
gammaalphagamma^-1l(gamma(ai)r) =gammal(alpha(ai)r) =gamma(ai+1),
mostrando que beta contém o ciclo
l(gamma(a1);gamma(a2);dots;gamma(ak)r)
Logo cada ciclo de alpha gera em beta um ciclo de mesmo comprimento, o que prova que alpha e beta têm a mesma estrutura cíclica.

Passo 3

Agora suponha que alpha e beta tenham a mesma estrutura cíclica. Escreva alpha como produto de ciclos disjuntos
alpha=(a11;dots;a1k1),cdot,(a21;dots;a2k2),cdots,,
e escolha em beta ciclos disjuntos de comprimentos iguais:
beta=(b11;dots;b1k1),cdot,(b21;dots;b2k2),cdots,
Como os comprimentos coincidem, podemos definir uma aplicação gammacolon1,dots,nto1,dots,n que em cada bloco manda
gamma(aij)=bij, j=1,dots,ki,
e assim por diante para todos os ciclos. Essa gamma é bijetora porque mapeia disjuntamente cada elemento de alpha em um de beta. Logo gammain Sn.

Passo 4

Para ver que beta=gammaalphagamma^-1, basta notar que, para todo bij=gamma(aij),
gammaalphagamma^-1(bij) =gammaalpha(aij) =gamma(ai,j+1) =bi,j+1 =beta(bij)
Isso vale para todos os i,j, portanto gammaalphagamma^-1 e beta atuam da mesma forma em cada elemento, ou seja
beta=gamma,alpha,gamma^-1

Resposta

Concluímos que duas permutações em Sn são conjugadas entre si se, e somente se, possuem a mesma estrutura cíclica.

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