Obtenha os elementos a1, a2, ldots, ak in S3=I, alpha, alpha^2, beta, beta alpha, beta alpha^2, tal que S3=a1 H cup a2 H cup ldots cup ak H seja uma união disjunta.

Passo 1

O enunciado nos dá o grupo S3=I,alpha,alpha^2,beta,betaalpha,betaalpha^2 e o subgrupo H=I,alpha,alpha^2 (o ciclo de ordem 3). Queremos particionar S3 em “cosets” à esquerda de H, ou seja, encontrar a1,dots,akin S3 tais que
S3 = a1H ;dotcup; a2H ;dotcup;cdots;dotcup;akH
de forma disjunta.

Passo 2

O índice de H em S3 é
[S3 : H] ;=;|S3||H| ;=;63;=;2
Logo, só precisamos de dois representantes a1,a2.

Passo 3

O primeiro coset é a1H com a1=I, ou seja
I H = I,alpha,alpha^2
Para o segundo coset, escolhemos um elemento fora de H, por exemplo beta. Então
beta H = beta,betaalpha,betaalpha^2
Esses dois cosets são disjuntos e cobrem todo S3.

Resposta

a1=I, a2=beta.

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