Mostre que para quaisquer a, b, c, d in N são válidas as propriedades:
se a+b <= c+b então a <= c.

Passo 1

O enunciado pede para provar a lei de cancelamento da adição em N:
“Para quaisquer a,b,cinN, se
a+b <= c+b
então
a <= c

Vamos usar indução em b e a propriedade de que, em N,
x+1 <= y+1 implies x<= y

Passo 2

Caso base ( b=0).
Suponha a+0 <= c+0. Mas em N vale
a+0 = a e c+0 = c,
logo a<= c. Portanto a propriedade vale para b=0.

Passo 3

Passo indutivo.
Suponha que, para um b arbitrário, a implicação
a+b <= c+b ;Longrightarrow; a<= c
já seja válida.
Precisamos mostrar que então vale também para b+1. Partimos de
a+(b+1)<= c+(b+1)
Pela definição de soma em N,
a+(b+1) = (a+b)+1 e c+(b+1) = (c+b)+1
Então
(a+b)+1 <= (c+b)+1
e, pela propriedade de sucessores em N,
(a+b)<= (c+b)
Pela hipótese de indução segue a<= c.

Resposta

Concluímos, por indução em b, que para quaisquer a,b,cinN
a+b <= c+b Longrightarrow a <= c

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