Mostre que para quaisquer
são válidas as propriedades:
se
então
.
se
Passo 1
O enunciado pede para provar a lei de cancelamento da adição em
:
“Para quaisquer , se
“Para quaisquer
então
”
Vamos usar indução em e a propriedade de que, em
,
Vamos usar indução em
Passo 2
Caso base (
).
Suponha . Mas em
vale
Suponha
logo
. Portanto a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo.
Suponha que, para um arbitrário, a implicação
Suponha que, para um
já seja válida.
Precisamos mostrar que então vale também para . Partimos de
Precisamos mostrar que então vale também para
Pela definição de soma em
,
Então
e, pela propriedade de sucessores em
,
Pela hipótese de indução segue
.
Resposta
Concluímos, por indução em
, que para quaisquer