Seja
Prove que
é subespaço de
V ;
Prove que
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
Para mostrar que
W é subespaço de
V , precisamos verificar três propriedades:
- A matriz zero está em
.W -
é fechado sob soma.W -
é fechado sob multiplicação por escalar.W
Passo 2
Verificamos que a matriz zero
O = 0 & 0 0 & 0
satisfaz a condiçãob - a + c = 0 , pois aqui
a=b=c=0 . Logo,
satisfaz a condição
então
Oin W .
Passo 3
Sejam
A=a1 & b1 c1 & d1in W
e
B=a2 & b2 c2 & d2in W .
Pela definição deW temos
e
Pela definição de
A soma é
Então o seu “
b - a + c ” é
Logo
A+Bin W , mostrando fechamento sob soma.
Passo 4
Seja
lambdainR e
A=a & b c & din W , com
b - a + c = 0 .
Então
Então
e
Portanto
lambda Ain W , isto é,
W é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como
Oin W ,
W é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
W é subespaço de
V .