Seja V=M2x2(R)
Prove que W=(lla & b c & d) ; b-a+c é subespaço de V;

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = M2times2(R)
e o subconjunto
W = l,a & b c & din V : b - a + c = 0r
Para mostrar que W é subespaço de V, precisamos verificar três propriedades:
  1. A matriz zero está em W.
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero
O = 0 & 0 0 & 0
satisfaz a condição b - a + c = 0, pois aqui a=b=c=0. Logo,
b - a + c = 0 - 0 + 0 = 0,
então Oin W.

Passo 3

Sejam
A=a1 & b1 c1 & d1in W
e
B=a2 & b2 c2 & d2in W.
Pela definição de W temos
b1 - a1 + c1 = 0 e b2 - a2 + c2 = 0
A soma é
A+B = a1 + a2 & b1 + b2 c1 + c2 & d1 + d2
Então o seu “ b - a + c” é
(b1+b2) - (a1+a2) + (c1+c2) = (b1 - a1 + c1) + (b2 - a2 + c2) = 0 + 0 = 0
Logo A+Bin W, mostrando fechamento sob soma.

Passo 4

Seja lambdainR e
A=a & b c & din W, com b - a + c = 0.
Então
lambda A = lambda a & lambda b lambda c & lambda d
e
(lambda b) - (lambda a) + (lambda c) = lambda,(b - a + c) = lambdacdot 0 = 0
Portanto lambda Ain W, isto é, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como Oin W, W é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço de V.

Resposta

W é subespaço de M2times2(R).

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