Seja V=M2x2(R).
a) Prove que W=(lla & b c & d) ; b=a+c e d=c é um subespaço de V;

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = M2times 2(R)
e o subconjunto
W = a & b [6pt] c & d ;; b = a + c e d = c
Para mostrar que W é subespaço de V, usamos o critério padrão: (i) o vetor zero de V pertence a W, (ii) W é fechado sob soma e (iii) W é fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 2

Mostramos que a matriz zero está em W. Seja
0 = 0 & 0 [3pt] 0 & 0
Aqui a=0, c=0, e então b=0 = a+c e d=0 = c. Logo 0in W.]

Passo 3

Verificamos a continuidade sob soma. Sejam
M1 = a1 & b1 [3pt] c1 & d1, M2 = a2 & b2 [3pt] c2 & d2
em W. Então bi = ai + ci e di = ci para i=1,2. A soma é
M1 + M2 = a1+a2 & b1+b2 [3pt] c1+c2 & d1+d2
Como
b1 + b2 = (a1 + c1) + (a2 + c2) = (a1 + a2) + (c1 + c2)
e
d1 + d2 = c1 + c2,
segue que M1+M2 satisfaz as mesmas condições e, portanto, M1+M2in W.]

Passo 4

Verificamos a continuidade sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e
M = a & b [3pt] c & din W,
com b = a + c e d = c. Então
lambda M = lambda a & lambda b [3pt] lambda c & lambda d
Temos
lambda b = lambda(a + c) = lambda a + lambda c e lambda d = lambda c,
mostrando que lambda Min W.]

Resposta

Como W contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço de V.

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