Mostre, para quaisquer
e
vetores do espaço, que:
a)
b)
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos três identidades vetoriais envolvendo produto vetorial, produto escalar e determinante. Vamos usar a notação de Levi-Civita (ε_{ijk}) e as propriedades do produto vetorial e escalar para demonstrar cada item.
Passo 2
Para (a), escrevemos cada componente de (\vec{u}×\vec{v})×\vec{w} em termos de ε_{ijk}:
Usando (\vec{u}×\vec{v})i=ε{ijk}u_jv_k, temos
Aplicando a identidade ε_{ipq}ε_{pjk}=δ_{ij}δ_{qk}−δ_{ik}δ_{qj}, obtemos
Logo,
Passo 3
Para (b), usamos a propriedade de ciclicidade do produto escalar de vetoriais:
Aplicando com
, obtemos
Passo 4
Para (c), expandimos (\vec{u}×\vec{v})·(\vec{w}×\vec{z}) em componentes:
De novo usando ε_{ijk}ε_{ipq}=δ_{jp}δ_{kq}−δ_{jq}δ_{kp}, temos
Isso é exatamente o determinante 2×2 dos escalares:
Passo 5
Assim demonstramos as três identidades pedidas.
Resposta
As identidades comprovadas são:
a) ;
b) ;
c) .
a)
b)
c)