Mostre, para quaisquer u, v, w e z vetores do espaço, que:
a) (u times v) times w=(u cdot w) v-(u cdot v) w
b) ((u times v) times w) cdot z=(u times v) cdot(w times z)
c) (u times v) cdot(w times z)=det(llu cdot w & u cdot z v cdot w & v cdot z).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos três identidades vetoriais envolvendo produto vetorial, produto escalar e determinante. Vamos usar a notação de Levi-Civita (ε_{ijk}) e as propriedades do produto vetorial e escalar para demonstrar cada item.

Passo 2

Para (a), escrevemos cada componente de (\vec{u}×\vec{v})×\vec{w} em termos de ε_{ijk}:
Usando (\vec{u}×\vec{v})i=ε{ijk}u_jv_k, temos
((u×v)×w)i = εipq(u×v)p wq = εipqεpjkujvk wq
Aplicando a identidade ε_{ipq}ε_{pjk}=δ_{ij}δ_{qk}−δ_{ik}δ_{qj}, obtemos
((u×v)×w)i = (δijδqk−δikδqj)ujvk wq = ui(v·w) − vi(u·w)
Logo,
(u×v)×w = (v·w),u − (u·w),v

Passo 3

Para (b), usamos a propriedade de ciclicidade do produto escalar de vetoriais:
(x×y)·z = x·(y×z)
Aplicando com x=u×v, y=w, z=z , obtemos
((u×v)×w)·z = (u×v)·(w×z)

Passo 4

Para (c), expandimos (\vec{u}×\vec{v})·(\vec{w}×\vec{z}) em componentes:
(u×v)·(w×z) = εijkujvk;εipqwpzq
De novo usando ε_{ijk}ε_{ipq}=δ_{jp}δ_{kq}−δ_{jq}δ_{kp}, temos
(u×v)·(w×z) = ujvk wj zk − ujvk wk zj = (u·w)(v·z) − (u·z)(v·w)
Isso é exatamente o determinante 2×2 dos escalares:
det u·w & u·z v·w & v·z = (u·w)(v·z) − (u·z)(v·w)

Passo 5

Assim demonstramos as três identidades pedidas.

Resposta

As identidades comprovadas são:
a) (u×v)×w=(v·w),u-(u·w),v;
b) ((u×v)×w)·z=(u×v)·(w×z);
c) (u×v)·(w×z)=det u·w & u·z v·w & v·z .

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