a) Mostre que qualquer campo vetorial da forma
F(x, y, z)=f(y, z) i+g(x, z) j+h(x, y) k,
onde f, g e h são diferenciáveis, é incompressível.
b) O campo vetorial F(x, y, z)=(y^2-z) i+(x^2-z) j+(x^2-y) k é incompressível?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que tem duas partes. Na primeira, precisamos mostrar que qualquer campo vetorial da forma F(x, y, z)=f(y, z) i+g(x, z) j+h(x, y) k é incompressível. Na segunda parte, vamos verificar se um campo vetorial específico é incompressível. Para isso, vamos utilizar o conceito de divergência na matéria de cálculo vetorial. A divergência ajuda a determinar se um campo é incompressível, ou seja, se ele não “afasta” nem “aproxima” o fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é incompressível se a sua divergência for igual a zero. A divergência de um campo F = Pi + Qj + Rk é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Vamos aplicar isso ao nosso campo geral.

Passo 3

Para o campo F(x, y, z)=f(y, z) i+g(x, z) j+h(x, y) k, temos:
P = f(y, z), Q = g(x, z), R = h(x, y)
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
  1. partial Ppartial x = partial f(y, z)partial x = 0, já que f não depende de x.
  2. partial Qpartial y = partial g(x, z)partial y = 0, já que g não depende de y.
  3. partial Rpartial z = partial h(x, y)partial z = 0, já que h não depende de z.

Passo 4

Somando as derivadas parciais:
nabla cdot F = 0 + 0 + 0 = 0
Como a divergência é zero, concluímos que o campo é incompressível.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Temos um campo vetorial específico:
F(x, y, z)=(y^2-z) i+(x^2-z) j+(x^2-y) k
Queremos verificar se ele é incompressível, ou seja, se sua divergência é zero.

Passo 6

Vamos identificar as componentes do campo:
P = y^2 - z, Q = x^2 - z, R = x^2 - y
Agora, calculamos as derivadas parciais:
  1. partial Ppartial x = partial (y^2 - z)partial x = 0, pois não há x em P.
  2. partial Qpartial y = partial (x^2 - z)partial y = 0, pois não há y em Q.
  3. partial Rpartial z = partial (x^2 - y)partial z = 0, pois não há z em R.

Passo 7

Somando as derivadas parciais:
nabla cdot F = 0 + 0 + 0 = 0
Como a divergência é zero, o campo vetorial é incompressível.

Resposta

b) Sim, o campo vetorial dado é incompressível porque sua divergência é zero.

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