a) Mostre que qualquer campo vetorial da forma
onde
e
são diferenciáveis, é incompressível.
b) O campo vetorial
é incompressível?
b) O campo vetorial
Passo 1
Vamos resolver o exercício que tem duas partes. Na primeira, precisamos mostrar que qualquer campo vetorial da forma
é incompressível. Na segunda parte, vamos verificar se um campo vetorial específico é incompressível. Para isso, vamos utilizar o conceito de divergência na matéria de cálculo vetorial. A divergência ajuda a determinar se um campo é incompressível, ou seja, se ele não “afasta” nem “aproxima” o fluido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é incompressível se a sua divergência for igual a zero. A divergência de um campo
é dada por:
Vamos aplicar isso ao nosso campo geral.
Passo 3
Para o campo
, temos:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
-
, já que não depende de . -
, já que não depende de . -
, já que não depende de .
Passo 4
Somando as derivadas parciais:
Como a divergência é zero, concluímos que o campo é incompressível.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Temos um campo vetorial específico:
Queremos verificar se ele é incompressível, ou seja, se sua divergência é zero.
Passo 6
Vamos identificar as componentes do campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
-
, pois não há em . -
, pois não há em . -
, pois não há em .
Passo 7
Somando as derivadas parciais:
Como a divergência é zero, o campo vetorial é incompressível.
Resposta
b) Sim, o campo vetorial dado é incompressível porque sua divergência é zero.