Questão 01 (13 pontos): Nos itens que seguem, encontre a solução geral da equação diferencial e, se for dada uma condição inicial, encontre também a solução que a satisfaz.
pontos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede pra encontrar a solução geral da equação
. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente de separação de variáveis e integração. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. Temos:
Então, dividindo ambos os lados por
, fica:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Multiplicamos ambos os lados por
:
Dessa forma, conseguimos separar os lados com
de um lado e
do outro.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Isso vai nos ajudar a encontrar a relação entre
e
.
Passo 5
Calculando as integrais:
- No lado esquerdo:
- No lado direito:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 6
Igualando as integrais e juntando as constantes (
):
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: