Questão 01 (13 pontos): Nos itens que seguem, encontre a solução geral da equação diferencial e, se for dada uma condição inicial, encontre também a solução que a satisfaz.
(5 pontos )(y+e^y) y^prime-x+e^-x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede pra encontrar a solução geral da equação (y + e^y) y' - x + e^-x = 0. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente de separação de variáveis e integração. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar y'. Temos:
(y + e^y) y' = x - e^-x
Então, dividindo ambos os lados por y + e^y, fica:
y' = x - e^-xy + e^y

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x. Multiplicamos ambos os lados por dx:
(y + e^y) dy = (x - e^-x) dx
Dessa forma, conseguimos separar os lados com y de um lado e x do outro.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral (y + e^y) dy = integral (x - e^-x) dx
Isso vai nos ajudar a encontrar a relação entre y e x.

Passo 5

Calculando as integrais:
  • No lado esquerdo:
integral y , dy + integral e^y , dy = y^22 + e^y + C1
  • No lado direito:
integral x , dx - integral e^-x , dx = x^22 + e^-x + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 6

Igualando as integrais e juntando as constantes ( C = C2 - C1):
y^22 + e^y = x^22 + e^-x + C
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^22 + e^y = x^22 + e^-x + C

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