Verifique quais dos subconjuntos a seguir são subespaços de
:
(1) o conjunto de todas as matrizes diagonais;
(2) o conjunto de todas as matrizes
;
(3) o conjunto de todas as matrizes cujo traço é nulo;
(4) o conjunto de todas as matrizes anti-simétricas;
(5) o conjunto de todas as matrizes para as quais
só tem a solução trivial;
(6) o conjunto de todas as matrizes
para as quais
para uma
fixada.
(1) o conjunto de todas as matrizes diagonais;
(2) o conjunto de todas as matrizes
(3) o conjunto de todas as matrizes cujo traço é nulo;
(4) o conjunto de todas as matrizes anti-simétricas;
(5) o conjunto de todas as matrizes para as quais
(6) o conjunto de todas as matrizes
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
de todas as matrizes reais
. Para cada subconjunto devemos checar três propriedades:
. contém a matriz zero;
. fechado sob soma;
. fechado sob multiplicação por escalar.
Se algum desses falhar, não é subespaço.
Se algum desses falhar, não é subespaço.
Passo 2
Conjunto (
): matrizes diagonais.
– A matriz zero é diagonal.
– Soma de duas diagonais é diagonal.
– Multiplicação escalar de matriz diagonal é diagonal.
Logo, ( ) é subespaço.
– A matriz zero é diagonal.
– Soma de duas diagonais é diagonal.
– Multiplicação escalar de matriz diagonal é diagonal.
Logo, (
Passo 3
Conjunto (
): matrizes com
(singulares).
– A matriz zero é singular.
– Porém, por exemplo
– A matriz zero é singular.
– Porém, por exemplo
e
não é singular.
Portanto não há fechamento sob soma e ( ) não é subespaço.
Portanto não há fechamento sob soma e (
Passo 4
Conjunto (
): matrizes de traço nulo.
– .
– .
– .
Logo, ( ) é subespaço.
–
–
–
Logo, (
Passo 5
Conjunto (
): matrizes antissimétricas (
).
– .
– Se e
então
.
– .
Logo, ( ) é subespaço.
–
– Se
–
Logo, (
Passo 6
Conjunto (
): matrizes tais que
só tem a solução trivial (invertíveis).
– A matriz zero não é invertível, logo o conjunto não contém o zero.
– Além disso, soma de invertíveis pode não ser invertível.
Portanto, ( ) não é subespaço.
– A matriz zero não é invertível, logo o conjunto não contém o zero.
– Além disso, soma de invertíveis pode não ser invertível.
Portanto, (
Passo 7
Conjunto
: matrizes que comutam com uma
fixa, i.e.\ todas
tais que
.
– .
– Se e
então
.
– .
Logo, é subespaço.
–
– Se
–
Logo,
Resposta
Os subconjuntos que são subespaços de
são: (
), (
), (
) e (
).