Verifique quais dos subconjuntos a seguir são subespaços de Mn(R) :
(1) o conjunto de todas as matrizes diagonais;
(2) o conjunto de todas as matrizes A com det A=0;
(3) o conjunto de todas as matrizes cujo traço é nulo;
(4) o conjunto de todas as matrizes anti-simétricas;
(5) o conjunto de todas as matrizes para as quais A x=0 só tem a solução trivial;
(6) o conjunto de todas as matrizes A para as quais A B=B A para uma B fixada.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial Mn(R) de todas as matrizes reais ntimes n. Para cada subconjunto devemos checar três propriedades:
1. contém a matriz zero;
2. fechado sob soma;
3. fechado sob multiplicação por escalar.
Se algum desses falhar, não é subespaço.

Passo 2

Conjunto ( 1): matrizes diagonais.
– A matriz zero é diagonal.
– Soma de duas diagonais é diagonal.
– Multiplicação escalar de matriz diagonal é diagonal.
Logo, ( 1) é subespaço.

Passo 3

Conjunto ( ): matrizes com (singulares).
– A matriz zero é singular.
– Porém, por exemplo
e não é singular.
Portanto não há fechamento sob soma e ( ) não é subespaço.

Passo 4

Conjunto ( 3): matrizes de traço nulo.
tr(0)=0.
tr(A+B)=tr(A)+tr(B)=0+0=0.
tr(lambda A)=lambda,tr(A)=lambdacdot0=0.
Logo, ( 3) é subespaço.

Passo 5

Conjunto ( 4): matrizes antissimétricas ( A^T=-A).
0^T=-0.
– Se A^T=-A e C^T=-C então (A+C)^T=A^T+C^T=-A-C=-(A+C).
(lambda A)^T=lambda A^T=-lambda A=-(lambda A).
Logo, ( 4) é subespaço.

Passo 6

Conjunto ( 5): matrizes tais que Ax=0 só tem a solução trivial (invertíveis).
– A matriz zero não é invertível, logo o conjunto não contém o zero.
– Além disso, soma de invertíveis pode não ser invertível.
Portanto, ( 5) não é subespaço.

Passo 7

Conjunto (6): matrizes que comutam com uma B fixa, i.e.\ todas A tais que AB=BA.
0B=B0.
– Se AB=BA e CB=BC então (A+C)B=AB+CB=BA+BC=B(A+C).
(lambda A)B=lambda(AB)=lambda(BA)=B(lambda A).
Logo, (6) é subespaço.

Resposta

Os subconjuntos que são subespaços de Mn(R) são: ( 1), ( 3), ( 4) e ( 6).

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