Achar os restos das seguintes divisões:
\quad 14^{256} por 17

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o resto da divisão de 14^{256} por 17.\n
Informações dadas e relevantes: a base é 14, o expoente é 256 e o divisor (módulo) é 17. Note que 17 é um número primo. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): como o divisor 17 é primo e a base 14 não é múltipla de 17, a ferramenta mais direta e econômica aqui é usar o teorema pequeno de Fermat para reduzir potências grandes módulo 17. Isso evita calcular potências enormes e é uma técnica que cai direto em provas. Vou explicar o teorema e aplicá-lo passo a passo.

Passo 3

Conceitos básicos de congruência e resto (mini-aula): dizer que “o resto de a por m” é o mesmo que trabalhar com congruência modular. Escrevemos a\equiv b\pmod{m} quando a-b é múltiplo de m. Exemplo simples: 14\equiv-3\pmod{17} porque 14-(-3)=17. Uma propriedade útil: se a\equiv b\pmod{m} então a^k\equiv b^k\pmod{m} para qualquer inteiro k\ge0. Isso permite reduzir a base antes de elevar à potência.

Passo 4

Verificação de que podemos aplicar Fermat: o teorema pequeno de Fermat diz que, para primo p e inteiro a com \gcd(a,p)=1, vale
a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}.
Aqui p=17 e a=14. Como 14 não é múltiplo de 17, temos \gcd(14,17)=1, logo as hipóteses do teorema são satisfeitas.

Passo 5

Aplicando o teorema: com p=17 o teorema dá
14^{17-1}=14^{16}\equiv 1\pmod{17}.
Expliquei acima o que cada símbolo significa: 14^{16} é a potência de 14 de ordem 16 e o \equiv 1\pmod{17} significa que ao dividir 14^{16} por 17 o resto é 1.

Passo 6

Reduzindo o expoente usando a congruência: como 14^{16}\equiv 1\pmod{17}, potências cuja expoente seja múltiplo de 16 ficarão fáceis de reduzir. Escrevemos 256 como múltiplo de 16:
256 = 16\cdot 16.
Portanto
14^{256} = \bigl(14^{16}\bigr)^{16}.

Passo 7

Usando a congruência para concluir: substituindo a congruência de 14^{16} na expressão acima, obtemos
14^{256}=\bigl(14^{16}\bigr)^{16}\equiv 1^{16}\pmod{17}.
Como 1^{16}=1, segue que
14^{256}\equiv 1\pmod{17},
ou seja, o resto da divisão de 14^{256} por 17 é 1.

Resposta

1

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