Seja o operador linear T: R^3 R^3 definido pela matriz:
[ccc 1 & 0 & 1 1 & -1 & 1 0 & 0 & -1 ]
b) Determinar uma fórmula que defina o operador T^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear representado por uma matriz . A missão aqui é descobrir a fórmula que define o inverso desse operador, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz de A = 1 & 0 & 1 1 & -1 & 1 0 & 0 & -1 :
Nosso objetivo é encontrar uma matriz tal que , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Para achar det(A) = 1 times det-1 & 1 0 & -1 - 0 times det1 & 1 0 & -1 + 1 times det1 & -1 0 & 0 , precisamos verificar se det-1 & 1 0 & -1 = (-1)(-1) - (1)(0) = 1 é invertível. Isso acontece se o determinante de det1 & -1 0 & 0 = (1)(0) - (-1)(0) = 0 for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 times 1 - 0 times (qualquer coisa) + 1 times 0 = 1 :
Calculando os determinantes menores:
Então:
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a matriz é invertível.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz inversa usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) times adj(A)
Onde A^-1 = adj(A) é a adjugate de . Já que , temos:

Passo 5

Para achar a adjugate, vamos calcular a matriz dos cofatores de Cij = (-1)^i+j times det(Mij) . Cada elemento -1 & 1 0 & -1 é dado por:
1 & 1 0 & -1
Onde 1 & -1 0 & 0 é a matriz menor removendo a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Vamos calcular os cofatores:
  • 0 & 1 0 & -1
  • 1 & 1 0 & -1
  • 1 & 0 0 & 0
  • 0 & 1 -1 & 1
  • 1 & 1 1 & 1
  • 1 & 0 1 & -1
  • 1 & 1 & 0 0 & -1 & 0 1 & 0 & -1
Então, a matriz dos cofatores é:

Passo 6

A adjugate de adj(A) = 1 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 0 & -1 é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 7

Finalmente, como A^-1 = 1 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 0 & -1 e , temos:

Resposta

A fórmula que define o operador T^-1 = 1 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 0 & -1 é representada pela matriz:

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