Mostre que se r1, r2 em R com r1 = r2 a solução geral da EDO é y(x) = x^(r1) * (C1 + C2 * ln(x)), para x > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, se e ambos são números reais, a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) é para . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre equações diferenciais e métodos de resolução quando temos raízes múltiplas na equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, assumimos uma solução da forma . Substituindo isso na EDO, chegamos à chamada equação característica, que geralmente é uma equação quadrática em .

Passo 3

Como temos , isso significa que a equação característica tem uma raiz dupla. Normalmente, quando temos raízes distintas e , a solução geral é uma combinação linear de e . Porém, no caso de raízes iguais, precisamos adaptar a solução.

Passo 4

Quando as raízes são iguais, ou seja, , a segunda solução é obtida multiplicando uma das soluções por . Assim, além da solução , a segunda solução será .

Passo 5

Portanto, a solução geral da EDO com raízes iguais é a combinação dessas duas soluções independentes. Isso nos dá:

Passo 6

Fatorando , a expressão fica mais elegante e mostra claramente a estrutura da solução geral:

Resposta

A solução geral da EDO é para .

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