Mostre que se
com
a solução geral da EDO é
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, se
e ambos são números reais, a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) é
para
. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre equações diferenciais e métodos de resolução quando temos raízes múltiplas na equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, assumimos uma solução da forma
. Substituindo isso na EDO, chegamos à chamada equação característica, que geralmente é uma equação quadrática em
.
Passo 3
Como temos
, isso significa que a equação característica tem uma raiz dupla. Normalmente, quando temos raízes distintas
e
, a solução geral é uma combinação linear de
e
. Porém, no caso de raízes iguais, precisamos adaptar a solução.
Passo 4
Quando as raízes são iguais, ou seja,
, a segunda solução é obtida multiplicando uma das soluções por
. Assim, além da solução
, a segunda solução será
.
Passo 5
Portanto, a solução geral da EDO com raízes iguais é a combinação dessas duas soluções independentes. Isso nos dá:
Passo 6
Fatorando
, a expressão fica mais elegante e mostra claramente a estrutura da solução geral:
Resposta
A solução geral da EDO é
para
.