Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora, observam-se 1000 fileiras de bactérias na cultura, e após quatro horas, observam-se 3000 fileiras. Determine:
(a) a expressão do número aproximado de fileiras de bactérias presentes na cultura no instante t:
(b) o número aproximado de fileiras de bactérias no início da cultura.
(a) a expressão do número aproximado de fileiras de bactérias presentes na cultura no instante t:
(b) o número aproximado de fileiras de bactérias no início da cultura.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o crescimento de uma cultura de bactérias. Aqui, a quantidade de bactérias cresce proporcionalmente à quantidade presente, o que significa que estamos lidando com crescimento exponencial. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do crescimento exponencial e resolver usando os dados fornecidos: 1000 fileiras após 1 hora e 3000 fileiras após 4 horas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do crescimento exponencial:
Onde:
-
é o número de fileiras no tempo , -
é o número inicial de fileiras, -
é a constante de crescimento, -
é a base do logaritmo natural.
Passo 3
Sabemos que após 1 hora (
), temos 1000 fileiras:
E após 4 horas (
), temos 3000 fileiras:
Passo 4
Vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar
:
Simplificando:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Então, a constante
é:
Passo 5
Agora que temos
, podemos achar
usando a primeira equação:
Simplificando:
Passo 6
Com
e
determinados, podemos escrever a expressão geral para o número de fileiras no tempo
:
Resposta
(a) A expressão do número aproximado de fileiras de bactérias no instante
é:
(b) O número aproximado de fileiras de bactérias no início da cultura (
) é: