Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora, observam-se 1000 fileiras de bactérias na cultura, e após quatro horas, observam-se 3000 fileiras. Determine:
(a) a expressão do número aproximado de fileiras de bactérias presentes na cultura no instante t:
(b) o número aproximado de fileiras de bactérias no início da cultura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o crescimento de uma cultura de bactérias. Aqui, a quantidade de bactérias cresce proporcionalmente à quantidade presente, o que significa que estamos lidando com crescimento exponencial. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do crescimento exponencial e resolver usando os dados fornecidos: 1000 fileiras após 1 hora e 3000 fileiras após 4 horas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do crescimento exponencial:
Onde:
  • é o número de fileiras no tempo ,
  • é o número inicial de fileiras,
  • é a constante de crescimento,
  • é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Sabemos que após 1 hora ( ), temos 1000 fileiras:
E após 4 horas ( ), temos 3000 fileiras:

Passo 4

Vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar :
Simplificando:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Então, a constante é:

Passo 5

Agora que temos , podemos achar usando a primeira equação:
Simplificando:

Passo 6

Com e determinados, podemos escrever a expressão geral para o número de fileiras no tempo :

Resposta

(a) A expressão do número aproximado de fileiras de bactérias no instante é:
(b) O número aproximado de fileiras de bactérias no início da cultura ( ) é:
fileiras.

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