O Sol está a 2,20 cdot 10^20 m do centro da Via Láctea e completa uma revolução em torno desse centro em 2,5 cdot 10^8 anos. Estime a massa da galáxia. (Constante Gravitacional: 6,67 cdot 10^-11 m^3 /(kg cdot s^2) )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta sobre a massa da nossa galáxia, a Via Láctea. A gente vai usar conceitos de gravitação e movimento circular. Precisamos entender como a velocidade do Sol em órbita e a distância até o centro da galáxia estão relacionadas para estimar a massa total da galáxia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o Sol completar uma revolução ao redor do centro da Via Láctea. Isso é um movimento circular, e para esse tipo de movimento, a força centrípeta que mantém o Sol na órbita é fornecida pela força gravitacional da galáxia.

Passo 3

A fórmula da força gravitacional é dada por:
F = G cdot M cdot mR^2
onde:
- $ F $ é a força gravitacional,
- $ G $ é a constante gravitacional,
- $ M $ é a massa da galáxia que queremos encontrar,
- $ m $ é a massa do Sol,
- $ R $ é a distância do Sol ao centro da galáxia.

Passo 4

A força centrípeta necessária para manter o Sol em órbita é também dada por:
F = m cdot v^2R
onde $ v $ é a velocidade do Sol.

Passo 5

Como as duas forças são iguais (a centrípeta e a gravitacional), podemos igualar as duas equações:
G cdot M cdot mR^2 = m cdot v^2R
Podemos simplificar cancelando $ m $ de ambos os lados:
m

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por $ R $:
R
E então isolando $ M $:
G cdot MR = v^2

Passo 7

Agora, precisamos descobrir a velocidade $ v $ do Sol. Sabemos que o período de uma revolução é $ T = 2,5 \times 10^8 $ anos. Vamos converter esse tempo para segundos:
v

Passo 8

A velocidade $ v $ pode ser calculada pela circunferência da órbita dividida pelo período:
v

Passo 9

Agora, substituindo $ v $ na equação da massa:
v

Passo 10

Vamos substituir os valores:
R = 2,20 times 10^20 , m
T = 7,885 times 10^15 , s
G = 6,67 times 10^-11 , m^3/(kg cdot s^2)
Calculando:
M = 4 times (3,1416)^2 times (2,20 times 10^20)^36,67 times 10^-11 times (7,885 times 10^15)^2

Resposta

Após os cálculos, a massa estimada da Via Láctea é aproximadamente $ 1,01 \times 10^{41} , kg $.

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