O Sol está a
do centro da Via Láctea e completa uma revolução em torno desse centro em
anos. Estime a massa da galáxia. (Constante Gravitacional:
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta sobre a massa da nossa galáxia, a Via Láctea. A gente vai usar conceitos de gravitação e movimento circular. Precisamos entender como a velocidade do Sol em órbita e a distância até o centro da galáxia estão relacionadas para estimar a massa total da galáxia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o Sol completar uma revolução ao redor do centro da Via Láctea. Isso é um movimento circular, e para esse tipo de movimento, a força centrípeta que mantém o Sol na órbita é fornecida pela força gravitacional da galáxia.
Passo 3
A fórmula da força gravitacional é dada por:
onde:
- $ F $ é a força gravitacional,
- $ G $ é a constante gravitacional,
- $ M $ é a massa da galáxia que queremos encontrar,
- $ m $ é a massa do Sol,
- $ R $ é a distância do Sol ao centro da galáxia.
Passo 4
A força centrípeta necessária para manter o Sol em órbita é também dada por:
onde $ v $ é a velocidade do Sol.
Passo 5
Como as duas forças são iguais (a centrípeta e a gravitacional), podemos igualar as duas equações:
Podemos simplificar cancelando $ m $ de ambos os lados:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por $ R $:
E então isolando $ M $:
Passo 7
Agora, precisamos descobrir a velocidade $ v $ do Sol. Sabemos que o período de uma revolução é $ T = 2,5 \times 10^8 $ anos. Vamos converter esse tempo para segundos:
Passo 8
A velocidade $ v $ pode ser calculada pela circunferência da órbita dividida pelo período:
Passo 9
Agora, substituindo $ v $ na equação da massa:
Passo 10
Vamos substituir os valores:
Calculando:
Resposta
Após os cálculos, a massa estimada da Via Láctea é aproximadamente $ 1,01 \times 10^{41} , kg $.