Mostre que a relação entre a radiância espectral RT(nu) e a densidade de energia rho(nu) é RT(nu)= (c/4) rho(nu).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, num campo isotrópico de radiação, a radiância espectral RT(nu) e a densidade de energia espectral rho(nu) se relacionam por
RT(nu)=c4,rho(nu)
O conteúdo envolve conceitos de radiometria: radiância (intensidade específica) e densidade de energia em um meio isotrópico.

Passo 2

Definimos a radiância espectral I(nu) como a potência por unidade de área, por unidade de ângulo sólido e por unidade de frequência em cada direção. A radiância espectral total que sai para um lado de uma superfície é
RT(nu) =integralhemisférioI(nu),costheta,dOmega é
Para um campo isotrópico I(nu) é constante em todas as direções, então
RT(nu) =I(nu)integral0^2pi!!dphiintegral0^pi/2!costheta,sintheta,dtheta =I(nu),2pigl[tfracsin^2theta2gr]0^pi/2 =pi,I(nu)

Passo 3

A densidade de energia espectral rho(nu) é a energia por volume e por frequência em todo o espaço de direções. A relação com I(nu) é dada por
rho(nu) =1cintegral4piI(nu),dOmega =4pic,I(nu)

Passo 4

Isolando I(nu) em termos de rho(nu) na expressão acima, temos
I(nu)=c4pi,rho(nu)
Substituindo em RT(nu)=pi,I(nu) obtém-se
RT(nu) =pi;c4pi,rho(nu) =c4,rho(nu)

Resposta

RT(nu)=c4,rho(nu)

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