Seja I: R^2 R^2 e as bases A=(1,0),(0,-1) e B=(2,0),(3,1). Encontre a matriz de mudança de base:
de B para A [I]A^B.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base de B para A do mapa identidade Icolon R^2to R^2. Isso significa que, dado um vetor v, queremos converter suas coordenadas em relação à base B para suas coordenadas em relação à base A.

Passo 2

Lembrete: a matriz [I]A^B tem como colunas as coordenadas, na base A, dos vetores da base B. Ou seja, seja B=b1,b2; então
[I]A^B = l[, [b1]A;m|;[b2]Ar]

Passo 3

Identificamos os vetores de B:
b1=(2,0), b2=(3,1)
Agora escrevemos cada bi como combinação linear dos vetores de A=a1,a2, em que
a1=(1,0), a2=(0,-1)

Passo 4

Para b1=(2,0) buscamos escalares x,y tais que
x,a1+y,a2 = (x, -y) = (2,0)
Da comparação de componentes vem x=2 e -y=0implies y=0. Logo,
[b1]A = 20

Passo 5

Para b2=(3,1) fazemos a mesma coisa:
x,a1+y,a2 = (x,-y) = (3,1)
implica x=3 e -y=1implies y=-1. Assim,
[b2]A = 3-1

Passo 6

Juntando as colunas obtidas, a matriz de mudança de base de B para A é
[I]A^B = 2 & 3 0 & -1

Resposta

[I]A^B = 2 & 3 0 & -1

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