Mostre que (R^*,) e ( C^*,) com suas respectivas operações usuais de multiplicação são grupos. Destaque em cada caso o elemento neutro e o elemento inverso.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que (R^*,cdot) e (C^*,cdot), onde
R^*=Rsetminus0 e C^*=Csetminus0, são grupos sob a multiplicação usual.
Para isso precisamos verificar, em cada caso, as quatro propriedades de grupo:
  1. Fechamento,
  2. Associatividade,
  3. Existência de elemento neutro,
  4. Existência de inversos.

Passo 2

Verificação em R^*:
Fechamento: se x,yinR^*, então xneq0 e yneq0. O produto
xy
é diferente de zero, logo xyinR^*.
Associatividade: a multiplicação em R é associativa, isto é, para quaisquer x,y,zinR^* vale
(xy)z = x(yz)

Passo 3

Elemento neutro em R^*:
O número
1
satisfaz, para todo xinR^*,
xcdot1 = x e 1cdot x = x,
logo 1 é o elemento neutro.

Passo 4

Inverso em R^*:
Dado xinR^*, definimos
x^-1 = 1x
Como xneq0, esse inverso existe em R^* e satisfaz
xcdot1x = 1 e 1xcdot x = 1

Passo 5

Verificação em C^*:
Fechamento: se z,winC^*, isto é, zneq0 e wneq0, então
zw neq 0
pela propriedade dos números complexos, logo zwinC^*.
Associatividade: a multiplicação em C é associativa, ou seja, para quaisquer z,w,uinC^* vale
(zw)u = z(wu)

Passo 6

Elemento neutro em C^*:
O número
1
(em C) satisfaz, para todo zinC^*,
zcdot1 = z e 1cdot z = z,
logo 1 é o elemento neutro.

Passo 7

Inverso em C^*:
Dado zinC^*, definimos
z^-1 = 1z = z|z|^2,
onde z é o conjugado e |z|^2 = z,z. Então
zcdot z^-1 = 1 e z^-1cdot z = 1,
e esse inverso também está em C^*.

Resposta

Tanto (R^*,cdot) quanto (C^*,cdot) satisfazem as quatro propriedades de grupo: fechamento, associatividade, elemento neutro 1 e inversos x^-1=1/x em R^* e z^-1=1/z em C^*. Portanto, ambos são grupos sob multiplicação.

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