Mostre que
e (
com suas respectivas operações usuais de multiplicação são grupos. Destaque em cada caso o elemento neutro e o elemento inverso.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
e
, onde
e
, são grupos sob a multiplicação usual.
Para isso precisamos verificar, em cada caso, as quatro propriedades de grupo:
Para isso precisamos verificar, em cada caso, as quatro propriedades de grupo:
- Fechamento,
- Associatividade,
- Existência de elemento neutro,
- Existência de inversos.
Passo 2
Verificação em
:
Fechamento: se , então
e
. O produto
Fechamento: se
é diferente de zero, logo
.
Associatividade: a multiplicação em é associativa, isto é, para quaisquer
vale
Associatividade: a multiplicação em
Passo 3
Elemento neutro em
:
O número
O número
satisfaz, para todo
,
logo
é o elemento neutro.
Passo 4
Inverso em
:
Dado , definimos
Dado
Como
, esse inverso existe em
e satisfaz
Passo 5
Verificação em
:
Fechamento: se , isto é,
e
, então
Fechamento: se
pela propriedade dos números complexos, logo
.
Associatividade: a multiplicação em é associativa, ou seja, para quaisquer
vale
Associatividade: a multiplicação em
Passo 6
Elemento neutro em
:
O número
O número
(em
) satisfaz, para todo
,
logo
é o elemento neutro.
Passo 7
Inverso em
:
Dado , definimos
Dado
onde
é o conjugado e
. Então
e esse inverso também está em
.
Resposta
Tanto
quanto
satisfazem as quatro propriedades de grupo: fechamento, associatividade, elemento neutro
e inversos
em
e
em
. Portanto, ambos são grupos sob multiplicação.