Seja
o produto cartesiano de
por ele mesmo. Considerando a soma de vetores usual em
,
verifique se
) é um grupo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
, munido da operação de soma de vetores
é um grupo. Em teoria de grupos, precisamos verificar quatro axiomas: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.
Passo 2
Verificamos o fechamento: tomemos dois vetores arbitrários em
, digamos
e
. Ao somá-los definimos
Como
, então
e
. Logo
, ou seja, a operação fecha em
.
Passo 3
Agora a associatividade: seja
. Usando a associatividade da adição em
, temos
e
Como
e
, as duas expressões coincidem, provando a associatividade.
Passo 4
Elemento neutro: procuramos
tal que
para todo
. Se escrevermos
, a soma dá
implicando
e
. Assim o neutro é
, pois
Passo 5
Inverso de um elemento
: queremos
. Isso equivale a
ou seja
e
. Logo o inverso de
é
, pois