Seja R^2 o produto cartesiano de R por ele mesmo. Considerando a soma de vetores usual em R^2,
(x, y)+(a, b)=(x+a, y+b)
verifique se R^2,+ ) é um grupo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto R^2, munido da operação de soma de vetores
(x,y)+(a,b) = (x+a,;y+b),
é um grupo. Em teoria de grupos, precisamos verificar quatro axiomas: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.

Passo 2

Verificamos o fechamento: tomemos dois vetores arbitrários em R^2, digamos (x,y) e (a,b). Ao somá-los definimos
(x,y)+(a,b) = (x+a,;y+b)
Como x,a,y,binR, então x+ainR e y+binR. Logo (x+a,y+b)inR^2, ou seja, a operação fecha em R^2.

Passo 3

Agora a associatividade: seja (x,y), (a,b), (u,v)inR^2. Usando a associatividade da adição em R, temos
l((x,y)+(a,b)r)+(u,v) = (x+a,;y+b)+(u,v) = l((x+a)+u,;(y+b)+vr)
e
(x,y)+l((a,b)+(u,v)r) = (x,y)+(a+u,;b+v) = l(x+(a+u),;y+(b+v)r)
Como (x+a)+u = x+(a+u) e (y+b)+v = y+(b+v), as duas expressões coincidem, provando a associatividade.

Passo 4

Elemento neutro: procuramos einR^2 tal que (x,y)+e=(x,y) para todo (x,y). Se escrevermos e=(e1,e2), a soma dá
(x,y)+(e1,e2) = (x+e1,,y+e2) = (x,y)
implicando e1=0 e e2=0. Assim o neutro é (0,0), pois
(x,y)+(0,0) = (x,y) = (0,0)+(x,y)

Passo 5

Inverso de um elemento (x,y): queremos (x,y)+(u,v)=(0,0). Isso equivale a
(x+u,;y+v) = (0,0),
ou seja u=-x e v=-y. Logo o inverso de (x,y) é l(-x,-yr), pois
(x,y)+(-x,-y) = (0,0) e (-x,-y)+(x,y) = (0,0)

Resposta

(R^2,+) satisfaz fechamento, associatividade, tem neutro (0,0) e inverso l(-x,-yr). Portanto é um grupo (aliás, um grupo abeliano).

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