Mostre que o resto da divisão por 3 da soma de dois números naturais quaisquer é igual ao resto da divisão por 3 da soma de seus respectivos restos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois números naturais quaisquer, o resto da divisão por 3 de sua soma é o mesmo que o resto da divisão por 3 da soma dos restos individuais. O conteúdo central é o algoritmo da divisão e propriedades de restos (ou congruências) módulo 3.
Passo 2
Pela propriedade do algoritmo da divisão, podemos escrever cada número como múltiplo de 3 mais o seu resto. Assim, seja a e b naturais, existem inteiros q₁, q₂ e restos r₁, r₂ tais que 0 ≤ r₁, r₂ < 3 e
Passo 3
Somando as expressões acima, obtemos
Isso mostra que, ao dividir a + b por 3, o quociente é q₁ + q₂ mais possivelmente um ajuste, e o possível “resto maior” é r₁ + r₂.
Passo 4
Como r₁ e r₂ estão em {0,1,2}, a soma r₁ + r₂ varia de 0 até 4. Para encontrar o resto final, basta ver:
- Se r₁ + r₂ < 3, então (r₁ + r₂) já é o resto da divisão de a + b por 3.
- Se r₁ + r₂ ≥ 3, então podemos escrever r₁ + r₂ = 3·1 + r, com 0 ≤ r < 3, e esse r é justamente o resto da divisão de a + b por 3.
Em ambos os casos, o resto de a + b ao dividir por 3 é exatamente o resto de r₁ + r₂ ao dividir por 3.
Passo 5
Portanto, concluímos que o resto de (a + b) na divisão por 3 coincide com o resto da soma dos restos de a e b. Em notação de resto (ou congruência), isso equivale a
Resposta
O resto da divisão por 3 de a + b é igual ao resto da divisão por 3 da soma dos restos de a e b, ou seja, (a + b) mod 3 = ((a mod 3) + (b mod 3)) mod 3.