(1.0 ponto) Considere a sequência a_{n}=\left(\frac{n^{n}}{n!}\right)_{n=1}^{\infty}.
(a) Escreva os quatro primeiros termos da sequencia.
(b) Mostre que a sequéncia é crescente.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \frac{n^{n}}{n!},
e pede em (a) os quatro primeiros termos e em (b) que se mostre que (a_{n}) é crescente. Para isso vamos calcular os valores iniciais e depois usar o critério da razão para monotonicidade.

Passo 2

Calculemos explicitamente
a_{1} = \frac{1^{1}}{1!} = 1,\quad a_{2} = \frac{2^{2}}{2!} = \frac{4}{2} = 2,\quad a_{3} = \frac{3^{3}}{3!} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2},\quad a_{4} = \frac{4^{4}}{4!} = \frac{256}{24} = \frac{32}{3}.

Passo 3

Para ver que a_{n+1}>a_{n} basta comparar a razão
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\dfrac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^{n}}{n!}} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{n^{n}}\;\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{n^{n}(n+1)} = \Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n}.
Como para todo n\ge1 vale
\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n} > 1,
concluímos que a_{n+1}/a_{n}>1, ou seja, a_{n+1}>a_{n}.

Resposta

(a) 1,\,2,\,\tfrac{9}{2},\,\tfrac{32}{3}.
(b) A sequência é crescente, pois
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n} > 1 \quad\text{para todo }n\ge1.

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