Sendo
, resolva :
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Para isso, vamos usar dois ingredientes da teoria de EDOs lineares:
- A solução geral da parte homogênea associada, usando a equação característica.
- Uma solução particular da equação completa, pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Resolvendo a equação homogênea
associamos a equação característica
Fatorando,
logo as raízes são
e
. Então a solução homogênea é
Passo 3
Para a solução particular
do problema completo, como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 em
, tentamos
onde
e
são constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
Substituindo em
, obtemos
Comparando coeficientes de
e termos constantes:
Da primeira dá
. Substituindo em
:
Portanto
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular: