Sendo y=y(x), resolva :
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x+2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 2\,y = 3\,x + 2.
Para isso, vamos usar dois ingredientes da teoria de EDOs lineares:
  1. A solução geral da parte homogênea associada, usando a equação característica.
  2. Uma solução particular da equação completa, pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
y'' + y' - 2\,y = 0
associamos a equação característica
r^2 + r - 2 = 0.
Fatorando,
(r+2)(r-1)=0,
logo as raízes são r=-2 e r=1. Então a solução homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x}.

Passo 3

Para a solução particular y_p do problema completo, como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 em x, tentamos
y_p(x) = A\,x + B,
onde A e B são constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
y_p' = A, \quad y_p'' = 0.
Substituindo em y'' + y' - 2y = 3x + 2, obtemos
0 + A - 2(Ax + B) = 3x + 2 \quad\Longrightarrow\quad -2A\,x + (A - 2B) = 3x + 2.
Comparando coeficientes de x e termos constantes:
-2A = 3, \quad A - 2B = 2.
Da primeira dá A = -\tfrac{3}{2}. Substituindo em A - 2B = 2:
-\tfrac{3}{2} - 2B = 2 \quad\Longrightarrow\quad -2B = \tfrac{7}{2} \quad\Longrightarrow\quad B = -\tfrac{7}{4}.
Portanto
y_p(x) = -\tfrac{3}{2}\,x - \tfrac{7}{4}.

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} - \tfrac{3}{2}\,x - \tfrac{7}{4}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} - \frac{3}{2}\,x - \frac{7}{4}.

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