Mostre que a reta
& x=0 & y=t & z=t t in R
é paralela ao plano 5 x-3 y+3 z=1;

Passo 1

O enunciado nos dá a reta em forma paramétrica
x=0, y=t, z=t, tinR
e o plano
5x-3y+3z=1
Queremos mostrar que essa reta é paralela ao plano. Para isso, vamos usar que uma reta é paralela a um plano se, e somente se, o seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor da reta. Como as coordenadas variam segundo
y=t, z=t
e x é constante, o vetor diretor é
v=(0,1,1)

Passo 3

O vetor normal do plano ,5x-3y+3z=1 é dado pelos coeficientes de x,y,z, ou seja
n=(5,-3,3)

Passo 4

Calculamos o produto escalar vcdotn:
vcdotn =0cdot5 + 1cdot(-3) + 1cdot3 = -3+3 =0
Como vcdotn=0, concluímos que v é ortogonal a n.

Resposta

A reta é paralela ao plano, pois seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano.

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