Questão 2. Considere o subconjunto W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y+z=0\right\}. Analise:
a) O vetor nulo pertence a W
b) O vetor (1,-1,0) \in W
c) A soma de dois vetores de W pertence a W
d) W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}
e) A dimensão de W é 2

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
W = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x+y+z=0\}
e pede para verificar: (a) se o vetor nulo está em W, (b) se (1,-1,0)\in W, (c) se a soma de dois vetores de W está em W, (d) se W é subespaço vetorial e (e) qual é a dimensão de W. Usaremos testes diretos de pertencimento, fechamento e cálculo de base.

Passo 2

Verificar se o vetor nulo (0,0,0) pertence a W. Como
0 + 0 + 0 = 0,
temos (0,0,0)\in W.

Passo 3

Verificar se o vetor (1,-1,0) pertence a W. Como
1 + (-1) + 0 = 0,
concluímos que (1,-1,0)\in W.

Passo 4

Mostrar fechamento de W quanto à soma. Sejam
u=(x_1,y_1,z_1)\in W,\quad v=(x_2,y_2,z_2)\in W,
logo x_1+y_1+z_1=0 e x_2+y_2+z_2=0. Então
(u+v)_x + (u+v)_y + (u+v)_z = (x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2) = 0 + 0 = 0,
logo u+v\in W.

Passo 5

Mostrar fechamento de W quanto à multiplicação escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,y,z)\in W. Então
(\lambda u)_x + (\lambda u)_y + (\lambda u)_z = \lambda x + \lambda y + \lambda z = \lambda(x+y+z) = \lambda\cdot 0 = 0,
portanto \lambda u\in W. Como W contém o vetor nulo, é fechado em soma e em produto escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Passo 6

Determinar a dimensão de W. Da equação x+y+z=0 temos z=-x-y, então um vetor genérico de W é
(x,y,-x-y) = x\,(1,0,-1) + y\,(0,1,-1).
Os vetores (1,0,-1) e (0,1,-1) são linearmente independentes, formando uma base de W. Logo
\dim W = 2.

Resposta

a) Verdadeiro
b) Verdadeiro
c) Verdadeiro
d) Verdadeiro
e) Verdadeiro

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