Questão 2. Considere o subconjunto
. Analise:
a) O vetor nulo pertence a
b) O vetor
c) A soma de dois vetores de
pertence a
d)
é um subespaço vetorial de
e) A dimensão de
é 2
a) O vetor nulo pertence a
b) O vetor
c) A soma de dois vetores de
d)
e) A dimensão de
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
e pede para verificar: (a) se o vetor nulo está em
, (b) se
, (c) se a soma de dois vetores de
está em
, (d) se
é subespaço vetorial e (e) qual é a dimensão de
. Usaremos testes diretos de pertencimento, fechamento e cálculo de base.
Passo 2
Verificar se o vetor nulo
pertence a
. Como
temos
.
Passo 3
Verificar se o vetor
pertence a
. Como
concluímos que
.
Passo 4
Mostrar fechamento de
quanto à soma. Sejam
logo
e
. Então
logo
.
Passo 5
Mostrar fechamento de
quanto à multiplicação escalar. Seja
e
. Então
portanto
. Como
contém o vetor nulo, é fechado em soma e em produto escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.
Passo 6
Determinar a dimensão de
. Da equação
temos
, então um vetor genérico de
é
Os vetores
e
são linearmente independentes, formando uma base de
. Logo
Resposta
a) Verdadeiro
b) Verdadeiro
c) Verdadeiro
d) Verdadeiro
e) Verdadeiro
b) Verdadeiro
c) Verdadeiro
d) Verdadeiro
e) Verdadeiro