Seja A \subset \mathbb{R}^{2}. Defina rigorosamente:
conjunto aberto
conjunto fechado
interior de A
fecho de A
ponto de acumulação
fronteira de A
Passo 1
O enunciado pede definições rigorosas, para um conjunto A \subset \mathbb{R}^2, dos objetos abaixo:
conjunto aberto;
conjunto fechado;
interior de A;
fecho (fecho topológico) de A;
ponto de acumulação de A;
fronteira de A.
Vou dar definições formais e, passo a passo, explicar o que cada uma significa, dar equivalentes úteis (por exemplo via bolas abertas ou sequências) e exemplos intuitivos para você saber aplicar na prova.
Passo 2
Primeiro algumas noções que vou usar em todas as definições.
Norma euclidiana e bola aberta. Para x=(x_1,x_2) e y=(y_1,y_2) em \mathbb{R}^2 definimos a norma euclidiana
\|y-x\|=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}.
A bola aberta de raio \varepsilon>0 centrada em x é
Intuição: B(x,\varepsilon) é o disco aberto de raio \varepsilon ao redor de x.
Vizinhança e ponto interior. Dizer que B(x,\varepsilon)\subseteq S significa que toda uma pequena bola em torno de x está dentro de S. Essa é a ideia de “estar estritamente dentro” de S.
Passo 3
Definição formal:
Um conjunto U\subseteq\mathbb{R}^2 é dito aberto se, para todo ponto x\in U, existe \varepsilon>0 tal que
B(x,\varepsilon)\subseteq U.
Explicação pedagogicamente:
Significado: em todo ponto de um conjunto aberto é possível “caber” uma bolinha pequena inteira dentro do conjunto. Não há pontos do conjunto que ficam exatamente na borda sem possibilidade de um pequeno entorno totalmente contido.
Exemplos fáceis: a bola aberta B((0,0),1) é um conjunto aberto; \mathbb{R}^2 é aberto; o conjunto vazio \varnothing é aberto por convenção (a condição é vacuamente verdadeira).
Como verificar numa prova: pegue um ponto genérico x\in U e construa um \varepsilon que garanta B(x,\varepsilon)\subset U.
Passo 4
Definição formal (via complemento):
Um conjunto F\subseteq\mathbb{R}^2 é dito fechado se o complemento \mathbb{R}^2\setminus F é aberto.
Definição equivalente (via sequências):
Um conjunto F\subseteq\mathbb{R}^2 é fechado se, sempre que (x_n) for uma sequência em F com x_n\to x em \mathbb{R}^2, então x\in F. Em palavras: F contém todos os limites de sequências de seus pontos.
Explicação pedagogicamente:
Intuição: um conjunto fechado contém sua “fronteira” e todos os possíveis limites de pontos que pertencem ao conjunto.
Exemplos: o disco fechado \{x:\|x\|\le 1\} é fechado; \mathbb{R}^2 e \varnothing são fechados.
Em provas geralmente é útil usar o caráter sequencial para mostrar que um conjunto é fechado: mostre que qualquer limite de sequência vinda do conjunto permanece nele.
Passo 5
Definição formal (pontos interiores):
O interior de A, denotado por \operatorname{int}(A) ou A^\circ, é o conjunto de todos os pontos x\in\mathbb{R}^2 que são pontos interiores de A, isto é,
\operatorname{int}(A)=\{\,x\in\mathbb{R}^2:\exists\varepsilon>0\text{ tal que }B(x,\varepsilon)\subseteq A\,\}.
Definição alternativa (como união máxima): \operatorname{int}(A) é também a maior (pela inclusão) parte aberta contida em A; explicitamente é a união de todos os subconjuntos abertos de A.
Explicação pedagogicamente:
Interpretação prática: \operatorname{int}(A) reúne todos os pontos de A que têm uma bolinha inteira dentro de A. Se A for aberto, então \operatorname{int}(A)=A.
Como usar na prova: para mostrar x\in\operatorname{int}(A) é suficiente apresentar um \varepsilon>0 com B(x,\varepsilon)\subset A. Para calcular \operatorname{int}(A) explicitamente, pense onde em A você consegue “encaixar” uma bolinha inteira.
Passo 6
Definição formal (interseção de fechados):
O fecho (ou aderência) de A, denotado \overline{A}, é a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm A:
\overline{A}=\bigcap\{\,F\subseteq\mathbb{R}^2:\;F\text{ fechado e }A\subseteq F\,\}.
Definição equivalente (pontos de fecho / sequências): \overline{A} é o conjunto de todos os pontos x\in\mathbb{R}^2 tais que existe uma sequência (x_n) com x_n\in A para todo n e x_n\to x. Em outras palavras, \overline{A} é o conjunto de todos os limites de sequências de A.
Outra forma útil:
\overline{A}=A\cup A',
onde A' é o conjunto de pontos de acumulação de A (ver definição abaixo). Isto inclui os pontos de A que já pertencem a A e os limites que podem não estar em A.
Explicação pedagogicamente:
Intuição: \overline{A} é A mais todos os pontos “que você não pode escapar” aproximando-se por pontos de A. É o menor fechado que contém A.
Como usar: para mostrar x\in\overline{A} basta construir uma sequência em A que converge para x, ou mostrar que qualquer vizinhança de x intercepta A (próxima definição).
Passo 7
Definição formal:
Um ponto x\in\mathbb{R}^2 é chamado ponto de acumulação (ou ponto limite) de A se, para todo \varepsilon>0,
Isto é, toda bola centrada em x, por menor que seja, contém algum ponto de A diferente de x.
Caracterização sequencial: x é ponto de acumulação de A se e somente se existe uma sequência (x_n) em A com x_n\neq x para todo n e x_n\to x.
Explicação pedagogicamente:
Intuição: um ponto de acumulação é “limite” de outros pontos de A; mesmo que x não pertença a A, ele pode estar arbitrariamente próximo de pontos de A.
Diferença de ponto isolado: se x\in A mas existe \varepsilon>0 com B(x,\varepsilon)\cap A=\{x\}, então x é isolado, não é ponto de acumulação.
Passo 8
Definição formal (via fecho e interior):
A fronteira de A, denotada \partial A, é
Ou seja, toda bola em torno de x encontra tanto A quanto o complemento de A.
Explicação pedagogicamente:
Intuição: a fronteira são os pontos “na borda” onde qualquer pequena bolinha toca simultaneamente o interior e o exterior de A.
Exemplos: para o disco aberto B((0,0),1) a fronteira é o círculo \{x:\|x\|=1\}. Para um conjunto denso como os racionais (visto como subconjunto de \mathbb{R}), a fronteira é todo \mathbb{R}.
Passo 9
Algumas propriedades úteis que costumam valer na prova e que ajudam a identificar rapidamente:
A é aberto \iff \operatorname{int}(A)=A.
A é fechado \iff \overline{A}=A.
\operatorname{int}(A) é aberto e \operatorname{int}(A)\subseteq A\subseteq\overline{A}.
\partial A é fechado e \partial A=\overline{A}\cap\overline{\mathbb{R}^2\setminus A}.
Sequencialmente: x\in\overline{A}\iff existe sequência (x_n)\subset A com x_n\to x.
Para mostrar que A é fechado, mostrar que contém todos os seus pontos de acumulação (ou usar a def. da complementaridade).
Pequena dica para a prova: quando aparece perguntar se um conjunto é aberto/fechado, pense em bolas em torno de pontos e/ou em sequências. Quando pedirem interior/fecho/fronteira, tente aplicar as definições diretas (bolas) e usar as relações acima para computar de forma prática.
Resposta
Conjunto aberto: U\subseteq\mathbb{R}^2 é aberto se, para todo x\in U, existe \varepsilon>0 tal que B(x,\varepsilon)\subseteq U.
Conjunto fechado: F\subseteq\mathbb{R}^2 é fechado se \mathbb{R}^2\setminus F é aberto; equivalente: sempre que (x_n)\subset F e x_n\to x, então x\in F.
Interior de A: \displaystyle \operatorname{int}(A)=\{\,x\in\mathbb{R}^2:\exists\varepsilon>0\text{ com }B(x,\varepsilon)\subseteq A\,\} (igual à maior abertura contida em A).
Fecho de A: \displaystyle \overline{A}=\bigcap\{F\subseteq\mathbb{R}^2:F\text{ fechado e }A\subseteq F\}, equivalente ao conjunto de todos os limites de sequências em A.
Ponto de acumulação: x é ponto de acumulação de A se, para todo \varepsilon>0, (B(x,\varepsilon)\setminus\{x\})\cap A\neq\varnothing; equivalente: existe (x_n)\subset A com x_n\neq x e x_n\to x.
Fronteira de A: \displaystyle \partial A=\overline{A}\setminus\operatorname{int}(A), equivalently x\in\partial A\iff\forall\varepsilon>0,\;B(x,\varepsilon)\cap A\neq\varnothing e B(x,\varepsilon)\cap(\mathbb{R}^2\setminus A)\neq\varnothing.