Use a derivação implícita para encontrar partial zpartial x: y z+x ln y-z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar derivação implícita para encontrar a derivada parcial partial zpartial x dada a equação y z + x ln y - z^2 = 0. Isso envolve cálculo de derivadas quando z é uma função de x e y, mas não está isolada. Vamos precisar usar a regra da cadeia e lembrar que estamos lidando com derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a x. Lembre-se que, ao diferenciar z em relação a x, precisamos multiplicar pela derivada de z com respecta a x, ou seja, partial zpartial x.

Passo 3

Vamos diferenciar termo a termo:
  1. Diferenciando y z em relação a x:
partialpartial x(y z) = y cdot partial zpartial x
Aqui, y é tratado como constante porque estamos derivando em relação a x.
  1. Diferenciando x ln y em relação a x:
partialpartial x(x ln y) = ln y
Aqui, ln y é constante em relação a x.
  1. Diferenciando -z^2 em relação a x:
partialpartial x(-z^2) = -2 z cdot partial zpartial x
Usamos a regra da cadeia aqui.

Passo 4

Agora, juntamos todas as derivadas:
y cdot partial zpartial x + ln y - 2 z cdot partial zpartial x = 0

Passo 5

Vamos isolar partial zpartial x. Primeiro, agrupamos os termos que contêm partial zpartial x:
( y - 2 z ) cdot partial zpartial x + ln y = 0

Passo 6

Agora, movemos ln y para o outro lado da equação:
( y - 2 z ) cdot partial zpartial x = -ln y

Passo 7

Finalmente, isolamos partial zpartial x dividindo ambos os lados por (y - 2 z):
partial zpartial x = -ln yy - 2 z

Resposta

A derivada parcial partial zpartial x é:
partial zpartial x = -ln yy - 2 z

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