Use a derivação implícita para encontrar
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar derivação implícita para encontrar a derivada parcial
dada a equação
. Isso envolve cálculo de derivadas quando
é uma função de
e
, mas não está isolada. Vamos precisar usar a regra da cadeia e lembrar que estamos lidando com derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que, ao diferenciar
em relação a
, precisamos multiplicar pela derivada de
com respecta a
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos diferenciar termo a termo:
- Diferenciando
em relação a :
Aqui,
é tratado como constante porque estamos derivando em relação a
.
- Diferenciando
em relação a :
Aqui,
é constante em relação a
.
- Diferenciando
em relação a :
Usamos a regra da cadeia aqui.
Passo 4
Agora, juntamos todas as derivadas:
Passo 5
Vamos isolar
. Primeiro, agrupamos os termos que contêm
:
Passo 6
Agora, movemos
para o outro lado da equação:
Passo 7
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A derivada parcial
é: