Mostre que se a, b e c são não-nulos, então a reta
& x=x0+a t & y=y0+b t & z=z0+c t t in R
consiste dos pontos (x, y, z) in R^3 satisfazendo
x-x0a=y-y0b=z-z0c
Estas são chamadas de equações simétricas da reta.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta em R^3 definida pelas equações paramétricas
x &= x0 + a,t, y &= y0 + b,t, z &= z0 + c,t, tinR,
onde a, b e c são não-nulos. Precisamos mostrar que o conjunto desses pontos é exatamente
x - x0a ;=;y - y0b;=;z - z0c
Para isso, usaremos álgebra elementar e a propriedade de que em R todo número não-nulo tem inverso.

Passo 2

Mostramos primeiro que todo ponto da forma paramétrica satisfaz as equações simétricas. Seja (x,y,z) um ponto da reta, então existe tinR tal que
x = x0 + a,t, y = y0 + b,t, z = z0 + c,t
Como aneq0, podemos isolar t na primeira igualdade:
t = x - x0a
Analogamente,
t = y - y0b, t = z - z0c
Portanto
x - x0a =y - y0b =z - z0c,
ou seja, o ponto satisfaz as equações simétricas.

Passo 3

Agora provamos a inclusão inversa: todo ponto que satisfaz as equações simétricas pertence à forma paramétrica. Suponha
x - x0a =y - y0b =z - z0c
Como as três frações são iguais, existe um único valor t tal que
t = x - x0a
Multiplicando por a, obtemos
x = x0 + a,t
De modo idêntico,
y = y0 + b,t, z = z0 + c,t
Logo (x,y,z) está na forma paramétrica da reta.

Passo 4

Concluímos que os dois conjuntos de pontos coincidem: a reta dada por
x &= x0 + a,t, y &= y0 + b,t, z &= z0 + c,t, tinR
consiste exatamente dos pontos que satisfazem
x - x0a =y - y0b =z - z0c

Resposta

A reta paramétrica coincide com o conjunto dos pontos (x,y,z) que satisfazem as equações simétricas
x - x0a =y - y0b =z - z0c

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