Mostre que se
,
e
são não-nulos, então a reta
consiste dos pontos
satisfazendo
Estas são chamadas de equações simétricas da reta.
Passo 1
O enunciado nos dá a reta em
definida pelas equações paramétricas
onde
,
e
são não-nulos. Precisamos mostrar que o conjunto desses pontos é exatamente
Para isso, usaremos álgebra elementar e a propriedade de que em
todo número não-nulo tem inverso.
Passo 2
Mostramos primeiro que todo ponto da forma paramétrica satisfaz as equações simétricas. Seja
um ponto da reta, então existe
tal que
Como
, podemos isolar
na primeira igualdade:
Analogamente,
Portanto
ou seja, o ponto satisfaz as equações simétricas.
Passo 3
Agora provamos a inclusão inversa: todo ponto que satisfaz as equações simétricas pertence à forma paramétrica. Suponha
Como as três frações são iguais, existe um único valor
tal que
Multiplicando por
, obtemos
De modo idêntico,
Logo
está na forma paramétrica da reta.
Passo 4
Concluímos que os dois conjuntos de pontos coincidem: a reta dada por
consiste exatamente dos pontos que satisfazem
Resposta
A reta paramétrica coincide com o conjunto dos pontos
que satisfazem as equações simétricas