Resolva o sistema:
l 5 x-2 y+3 z=2 3 x+y+4 z=-1 4 x-3 y+z=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado nos dá três equações com três incógnitas x, y e z. A matéria que vamos usar aqui é a Resolução de Sistemas Lineares utilizando Eliminação de Gauss. Precisamos manipular as equações para descobrir os valores de x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
5x - 2y + 3z = 2 (Equação 1) 3x + y + 4z = -1 (Equação 2) 4x - 3y + z = 3 (Equação 3) çãçãçã
A ideia aqui é eliminar uma variável de duas equações para simplificar o sistema.

Passo 3

Vamos começar eliminando x. Para isso, escolhemos duas pares de equações e ajustamos os coeficientes de x para que possam ser cancelados. Primeiro, multiplicamos a Equação 1 por 3 e a Equação 2 por 5 para igualar os coeficientes de x:
15x - 6y + 9z = 6 (Equação 1 mu<iplicada por 3) çã
15x + 5y + 20z = -5 (Equação 2 mu<iplicada por 5) çã

Passo 4

Agora, subtraímos a nova Equação 1 da nova Equação 2 para eliminar x:
(15x + 5y + 20z) - (15x - 6y + 9z) = -5 - 6
Simplificando:
11y + 11z = -11 (Equação 4) çã
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 11:
y + z = -1 (Equação 4 simplificada) çã

Passo 5

Agora, vamos eliminar x novamente, mas desta vez usando a Equação 1 e a Equação 3. Multiplicamos a Equação 1 por 4 e a Equação 3 por 5:
20x - 8y + 12z = 8 (Equação 1 mu<iplicada por 4) çã
20x - 15y + 5z = 15 (Equação 3 mu<iplicada por 5) çã
Subtraímos a nova Equação 3 da nova Equação 1:
(20x - 8y + 12z) - (20x - 15y + 5z) = 8 - 15
Simplificando:
7y + 7z = -7 (Equação 5) çã
Também podemos simplificar dividindo por 7:
y + z = -1 (Equação 5 simplificada) çã

Passo 6

Observamos que a Equação 4 simplificada e a Equação 5 simplificada são iguais:
y + z = -1
Isso significa que temos uma relação direta entre y e z. Vamos agora expressar y em termos de z:
y = -1 - z

Passo 7

Com essa relação, substituímos y na Equação 2 para encontrar x. A Equação 2 original é:
3x + y + 4z = -1
Substituindo y:
3x + (-1 - z) + 4z = -1
Simplificando:
3x - 1 + 3z = -1
3x + 3z = 0
Dividindo por 3:
x + z = 0 implies x = -z

Passo 8

Agora, temos x = -z e y = -1 - z. Vamos substituir x e y na Equação 3 para encontrar o valor de z. A Equação 3 original é:
4x - 3y + z = 3
Substituindo x e y:
4(-z) - 3(-1 - z) + z = 3
Simplificando:
-4z + 3 + 3z + z = 3
(-4z + 3z + z) + 3 = 3
0z + 3 = 3
3 = 3
Isso confirma que as relações encontradas são consistentes, mas não nos dá um valor específico para z. Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, dependendo do valor de z.

Resposta

As soluções do sistema são:
x = -z y = -1 - z z = qualquer número real ú
Ou de forma paramétrica:
(x, y, z) = (-z, -1 - z, z) onde z in R

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