Mostre que se
e
são subespaços vetoriais de
, então a soma
será fechada por multiplicação por escalar, isto é, se
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
são subespaços vetoriais de
, então a soma
é fechada por multiplicação por escalar. Vamos usar a definição de soma de subespaços e o fato de que cada subespaço é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Seja
. Por definição de soma, existem
e
tais que
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por um escalar
, temos
Como
e
são subespaços, eles são fechados sob multiplicação por escalar. Portanto
e
.
Passo 4
Da expressão
segue, pela definição de soma de subespaços, que