Mostre que se S1 e S2 são subespaços vetoriais de V, então a soma S1+S2 será fechada por multiplicação por escalar, isto é, se v in S1+S2, então alpha v in S1+S2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se S1 e S2 são subespaços vetoriais de V, então a soma
S1+S2=u1+u2mid u1in S1,,u2in S2
é fechada por multiplicação por escalar. Vamos usar a definição de soma de subespaços e o fato de que cada subespaço é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Seja vin S1+S2. Por definição de soma, existem u1in S1 e u2in S2 tais que
v = u1 + u2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por um escalar alpha, temos
alphav = alpha(u1+u2) = alphau1 + alphau2
Como S1 e S2 são subespaços, eles são fechados sob multiplicação por escalar. Portanto
alphau1in S1 e alphau2in S2.

Passo 4

Da expressão
alphav = alphau1 + alphau2
segue, pela definição de soma de subespaços, que
alphavin S1+S2

Resposta

alphavin S1+S2, logo S1+S2 é fechado por multiplicação por escalar.

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