Questão 1 (2,5): Sejam S1=(x, y, z) in R^3 ; x-2 y+z=0 S2=(x, y, z) in R^3 ; 3 z-5 x-2 y=0 subespaços vetoriais de R^3.
Encontre uma base e a dimensão para S1 cap S2 :

Passo 1

O enunciado pede o subespaço S1cap S2, isto é, a interseção de duas retas definidas por equações lineares homogêneas em R^3. O conteúdo é resolver um sistema homogêneo com duas equações e três incógnitas e, a partir da solução geral, extrair uma base e a dimensão do espaço solução.

Passo 2

Escrevemos o sistema que define
Da primeira equação isole obtemos

Passo 3

Usando y = tfrac23z em x = 2y - z vem
x = 2l(tfrac23zr) - z = tfrac43z - z = tfrac13z
Logo o vetor genérico da solução é
(x,y,z) = l(tfrac13z,;tfrac23z,;zr) = z,( tfrac13,tfrac23,1)
Escolhendo o parâmetro livre mu = z/3, reescrevemos
(x,y,z) = mu,(1,2,3),
logo uma base para S1cap S2 é (1,2,3).
Como a solução geral tem um único parâmetro livre, a dimensão de S1cap S2 é 1.

Resposta

Uma base de S1cap S2 é (1,2,3) e dim(S1cap S2)=1.

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