Questão 1 (2,5): Sejam S1=(x, y, z) in R^3 ; x-2 y+z=0 S2=(x, y, z) in R^3 ; 3 z-5 x-2 y=0 subespaços vetoriais de R^3.
Encontre a dimensão de S1+S2. A soma é direta? Justifique.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de R^3 por equações lineares:
S1=(x,y,z)inR^3mid x-2y+z=0, S2=(x,y,z)inR^3mid -5x-2y+3z=0
O conteúdo é soma de subespaços em R^3. Vamos precisar da fórmula
dim(S1+S2)=dim S1+dim S2-dim(S1cap S2)
e verificar se S1cap S2=0 para saber se a soma é direta.

Passo 2

Cada uma das equações define em R^3 um plano que passa pela origem, logo
dim S1 = 2, dim S2 = 2

Passo 3

Para calcular
Da primeira equação vem . Parametrizando por , obtemos
que é uma reta passando pela origem. Logo

Passo 4

Aplicando a fórmula da dimensão da soma:
dim(S1+S2) =dim S1+dim S2-dim(S1cap S2) =2+2-1=3
Assim S1+S2=R^3.

Passo 5

A soma é direta se, e somente se, S1cap S2=0. Aqui vimos que
dim(S1cap S2)=1, ou seja, existe vetor não-nulo na interseção. Portanto a soma não é direta.

Resposta

dim(S1+S2)=3. A soma não é direta.

Exercícios relacionados