Questão 1 (2,5): Sejam
subespaços vetoriais de
.
Encontre a dimensão de
. A soma é direta? Justifique.
Encontre a dimensão de
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
por equações lineares:
O conteúdo é soma de subespaços em
. Vamos precisar da fórmula
e verificar se
para saber se a soma é direta.
Passo 2
Cada uma das equações define em
um plano que passa pela origem, logo
Passo 3
Para calcular
Da primeira equação vem . Parametrizando por
, obtemos
que é uma reta passando pela origem. Logo
Passo 4
Aplicando a fórmula da dimensão da soma:
Assim
.
Passo 5
A soma é direta se, e somente se,
. Aqui vimos que
, ou seja, existe vetor não-nulo na interseção. Portanto a soma não é direta.