Questão 2 (2,5):
Seja T: R^3 R^2 a transformação linear definida por: T(x, y, z)=(x-y-z, 2 z-x).
Determine uma base e a dimensão para Im(T) :

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3toR^2 com
T(x,y,z) = (,x - y - z,;2z - x,)
Queremos encontrar uma base e a dimensão de Im(T), que é o subespaço de R^2 gerado pelas colunas da matriz de T.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T em relação às bases canônicas de R^3 e R^2:
A = 1 & -1 & -1 -1 & 0 & 2
As colunas são
c1 = 1-1, c2 = -10, c3 = -12,
e Im(T)=spanc1,c2,c3.

Passo 3

Verificamos se c1 e c2 são linearmente independentes. Se existisse lambda tal que c2=lambda c1, teríamos simultaneamente
-1 = lambdacdot 1 e 0 = lambdacdot(-1),
o que não é possível. Logo c1,c2 é LI em R^2.

Passo 4

Agora expressamos c3 como combinação de c1 e c2. Procuramos alpha,beta tais que
alpha,c1 + beta,c2 = -12
Da segunda coordenada vem -alpha = 2, ou seja alpha=-2. Da primeira,
alpha - beta = -1 Longrightarrow -2 - beta = -1 Longrightarrow beta = -1
Assim c3 = -2c1 - c2, logo não adiciona dimensão nova.

Passo 5

Concluímos que c1,c2 gera todo Im(T) e é LI. Portanto
  • Uma base de Im(T) é (1,-1),,(-1,0).
  • dim(Im(T)) = 2.

Resposta

Base de Im(T): (1,-1),,(-1,0)
Dimensão de Im(T): 2

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