Questão 2 (2,5):
Seja
a transformação linear definida por:
.
Determine uma base e a dimensão para
:
Seja
Determine uma base e a dimensão para
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
com
Queremos encontrar uma base e a dimensão de
, que é o subespaço de
gerado pelas colunas da matriz de
.
Passo 2
Escrevemos a matriz de
em relação às bases canônicas de
e
:
As colunas são
e
Im(T)=spanc1,c2,c3 .
Passo 3
Verificamos se
c1 e
c2 são linearmente independentes. Se existisse
lambda tal que
c2=lambda c1 , teríamos simultaneamente
o que não é possível. Logo
c1,c2 é LI em
R^2 .
Passo 4
Agora expressamos
c3 como combinação de
c1 e
c2 . Procuramos
alpha,beta tais que
Da segunda coordenada vem
-alpha = 2 , ou seja
alpha=-2 . Da primeira,
Assim
c3 = -2c1 - c2 , logo não adiciona dimensão nova.
Passo 5
Concluímos que
c1,c2 gera todo
Im(T) e é LI. Portanto
- Uma base de
éIm(T) .(1,-1),,(-1,0) -
.dim(Im(T)) = 2
Resposta
Base de
Im(T) :
(1,-1),,(-1,0)
Dimensão deIm(T) :
2
Dimensão de